Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем сначала несколько примеров процессов с независимыми приращениями.
Процесс броуновского движения. Так называется процесс с независимыми приращениями, для которого распределение Р(/, h, В) является гауссовым.
Как известно, если наблюдать в микроскоп с очень сильным увеличением маленькую крупинку коллоидного размера, погруженную в жидкость, то оказывается, что такая частица находится в постоянном движении и ее путь представляет собой
Bi—yo
В2— хУо+У])
\ P(tn-U tn — tn-U dyn). (1)
Bn~(V o+ •" + «n)
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
33
очень сложную ломаную линию с хаотически направленными звеньями. Это явление объясняется столкновениями молекул жидкости с коллоидной частицей. Коллоидная частица имеет относительно большие размеры ио сравнению с молекулами жидкости и испытывает в одну секунду огромное число соударений с ними. Результат каждого столкновения частицы с молекулами проследить невозможно. Видимое движение частицы называется броуновским движением. В первом приближении можно считать, что смещения частицы под влиянием столкновения с молекулами среды независимы между собою, и рассматривать броуновское движение как процесс с независимыми приращениями. Так как отдельное смещение мало, то можно предположить, что к их сумме применима центральная предельная теорема теории вероятностей, и считать броуновское движение гауссовым процессом.
Сделаем несколько замечаний о корреляционной функции процесса с независимыми приращениями, обладающего конечными моментами второго порядка.
Пусть |(0)= 0. Положим
а (/) = Mg (/), В (/) = М [g (/) - а (/)] [g (/) - а (/)]*.
B(t) является симметрической неотрицательно определенной матрицей. Если s < /, то (Ag(s)=g(/)—g(s), Aa(s) = a(t)—•
— a(s))
R (/, s) = M [| (/) - a (/)] [g (s) - a (.s)]* =
= В (s) + M Ag (s) (5 (s) - a (s)Y = В (s),
или
R (/, s) — B (min (/, s)). (2)
Отметим еще, что M (Ag (s) — Aa (s)) (Ag (s) — Да (s))* =
— B(t) — R (/, s) — R (s, t) + B(s) = B(t)-B(s). (3)
В частности, отсюда следует, что матрица B(i)—B(s) симме-
трична и неотрицательно определена.
Для однородных процессов функции a(t) и B(t) удовлетворяют следующим функциональным уравнениям:
a (/i + t2) = a (/[) + a (/2), (4)
5(/, + /2) = 5(/1) + 5(/2). (5)
Соотношение (5) является непосредственным следствием (3) и однородности процесса, а равенство (4) легко проверяется:
Д (^i + /2) = М (g (/, + 4) — t ih)) + Mg (t2) — a (ti) + a (t2).
34
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
1ГЛ. f
Если предположить, что функция a(t) ограничена, то, как известно, решения функционального уравнения (4) имеют вид a(t)=at, где а — некоторый постоянный вектор. Из неотрицательной определенности матрицы B{t) в свою очередь вытекает, что решения уравнения (5) имеют вид B(t)=Bt. Итак, для однородного процесса S,(t) с независимыми приращениями и конечными моментами второго порядка (?(0) = 0)
Ml{t) — at, R(t, s) — В min(f, s). (6)
В частности, одномерный однородный процесс броуновского
движения определяется двумя параметрами т и а. При этом М\(t)=mt, Ql(t) = a4. При т = 0, <7=1 процесс броуновского движения называют винеровским процессом. В многомерном случае винеровским процессом называют однородный гауссов процесс с независимыми приращениями, для которого
1(0) = 0, М|(0 = 0, М =
где / — единичная матрица.
Процесс Пуассона. Стохастически непрерывный процесс
с независимыми приращениями называют процессом Пуассона, если для любых s, t > 0 (s < t) распределение величины 1 (t)—g(s) является пуассоновским. Пусть g(0)=0. Тогда величина !(/) принимает целочисленные значения и Р{?(/)=т} =
= — ""j—e~at, причем М?(() = а((). Но тогда
Р (1 (0 - S (s) = т} = --П -~г-|т- в" !а w "a(s)1. tn = 0, 1,....
Если процесс |(/) однороден, то в силу монотонности функции a(t)
a (t) = at
и
Ра(0 — 1(S) = m} = т = 0,1, ...
В общем случае из стохастической непрерывности процесса ?(0' следует непрерывность функции a(t). Действительно, так как !(/)-> l(s) по вероятности при t \ s, то -> Meiu^<s) и ха-
рактеристическая функция ф((и) величины ?(/) непрерывна по t.
С другой стороны, q>t(u) = ехр {a(t) (eiu—1)} и %(и) непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна функция a{t).
Безгранично делимые распределения. Распределение Q в &d называют безгранично делимым, если для любого целого п Q является п-кратной сверткой некоторого распределения CU:
а=се.
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
ЗЬ
Таким образом, если для любого целого п случайный вектор I допускает представление I = g„i + gn2 + • • • + 6nn, где {?ns. ft=\, n} — независимые одинаково распределенные случайные векторы, то распределение вектора g бегранично делимо.
