Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
То обстоятельство, что гауссовы случайные функции играют важную роль в практических задачах, часто можно объяснить следующим образом. При широких условиях сумма большого числа независимых и малых по величине случайных функций приближенно является гауссовой случайной функцией, независимо от теоретико-вероятностной природы отдельных слагаемых. Это так называемая теорема о нормальной корреляции, являющаяся многомерным обобщением центральной предельной теоремы.
Определение. Последовательность случайных функций (в широком смысле) |п(0), 0е0, п= 1,2, ..., называют слабо сходящейся к |о(б), 0е0, если для любых s, 0f (0{е0, 5=1, 2, ...) совместное распределение серии случайных величин (En(0i), In (0s)) при rt-* 00 слабо сходится к распределению величин (|o(0i)» • • • » Ы0«)).
Теорема 5. Пусть дана последовательность сумм случайных функций
тп
Л/г (0) = ? ank (0), 0 е ©, «==1,2.........
а выполнены следующие условия-.
1) при фиксированном п случайные величины ап\ (0|), алг(02), • • •, Unmn (0mre) взаимно независимы при любых 0ь
02......0т и обладают моментами второго порядка, причем
Manft(0) = O, Ma^ft (0) = b2nft (0);
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
31
2) при п оо корреляционная, функция /?п(0ь 62) =
= M[r]n(0i), т]п(02)] сходится к некоторому пределу
Пт /?„ (01, 02)*=/? (0ь 0г);
П~>оо
тп
3) суммы (0) = anfe(0) пРи каждом 0 удовлетворяют
*-]
условию Линдеберга: при любом х > О
Г
) x dunk(Q, х)-»0,
п k=l |Ж1> тВп
где П„ь(0, х) — функция распределения случайной величины
Knfe(0),
mn
Bn^L Kk(Q) = Rn(Q, 0).
Тогда случайная функция т)„(0) при п -*¦ оо слабо сходится к гауссовой случайной функции с математическим ожиданием О и корреляционной функцией R(Qi, 02).
Приведенная теорема непосредственно вытекает из центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных векторов. При этом ее условия могут быть ослаблены.
§ 3. Процессы с независимыми приращениями
Собственно говоря, именно с изучения процессов с независимыми приращениями возникла теория случайных процессов. Сначала изучался винеровский процесс (или процесс броуновского движения), а затем и более общие процессы с независимыми приращениями. Задача состояла в полном описании этого класса процессов и в изучении его свойств.
В настоящем параграфе будут приведены примеры процессов с независимыми приращениями и найдено общее выражение для характеристических функций конечномерных распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями.
Пусть Т — конечный отрезок Т = [0, а] или Т = [0, оо).
Определение. Случайный процесс {?(0, t е Т} со значениями в называется процессом с независимыми приращениями, если для любых п, 0 ^ < t2 <. ... < tn, случайные
векторы |(0), g(/i)— g(0), ..., l(tn)— l(tn-\) взаимно независимы.
Вектор g(0) называется начальным состоянием (значением) процесса, а его распределение — начальным распределением
32
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
процесса. Чтобы задать процесс с независимыми приращениями в широком смысле, достаточно задать начальное распределение Р0(?) = Р (|(0)е В} и набор распределений Р(/, h, В) (t ^ 0, h >¦ 0, Be S9d), где S9d — о-алгебра борелевских множеств и Р(/, h, В)—распределение вектора |(/ + /г)—?(/), Р(?, h, В) = р {?(/ -f h)—g(/)eB}. Действительно, если эти распределения даны, то любые совместные распределения векторов ?(М, ?(^2), l(tn) однозначно определяются формулой
= $Р°№/°) ^ Р(0. h, dyi) jj P{tu t2 — tb dy2) ...
Здесь В — z обозначает множество {х: х — у — z, у е В}. Что касается начального распределения Р0(В), то оно может быть произвольным. С другой стороны, нельзя гарантировать, что произвольно заданному семейству распределений Р(/, h, В) соответствует некоторый процесс с независимыми приращениями.
Чтобы последнее имело место, необходимо и достаточно, чтобы P(f, h, В) обладало следующим свойством: при любом п и любых (tu ..., tn), t = t0 < ti < ... < tn — t + к, P(t,h,B) является распределением суммы независимых случайных векторов ?ь ..., где имеет распределение Р(4-ь th — tk-\, В).
Действительно, если это условие выполнено, то семейство распределений (1) удовлетворяет условиям согласованности.
Процесс с независимыми приращениями называют однородным, если распределение вектора \(t -f- h)—%(t) не зависит от t, т. е. Р(/, h, В) — P(h, В). Для однородных процессов приводимые ниже соотношения и формулы имеют более простой вид. Во многих вопросах, не умаляя общности, можно считать, что ^(0)s0. В дальнейшем мы часто будем считать это предположение выполненным.
