Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 16

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 214 >> Следующая


б) ff(.)-0.
§ 31

ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

41

В этом случае приращение + —?(s) имеет нормаль-

ное распределение со средним at и корреляционной матрицей Ы. При ?(0) = 0 процесс ?(/) является гауссовым, т. е. процессом броуновского движения. _

в) а = О, b = 0, мера П сосредоточена в точке г0, [ гг0 ] <; с

и П {z0} = q.

В этом случае

Легко проверить, что приращение \(t) можно записать в виде

где v(0—однородный пуассонов процесс с параметром q, Mv(t) = qt. _ _

г) Пусть Ь — 0, а мера П такова, что П(5С)< оо. Формулу (17) можно в этом случае записать в виде

где По — вероятностная мера на S3d (9 — n(3?d)). Нетрудно истолковать формулу для ф(^, и) в этом случае. Имеем

Это выражение представляет собою характеристическую функцию суммы at + + ... -f- lv(f), где ?,i, ..., |n, ... —независи-

мые и одинаково распределенные векторы в Яй с распределением no(-).v(0—не зависящий от . пуассонов про-

цесс с параметром q. Построенный таким образом процесс ?(0 называют обобщенным пуассоновым процессом.

д) Характеристическую функцию одномерного однородного процесса с независимыми приращениями можно записать по формуле Хинчина

где у — вещественное число, G — неубывающая ограниченная

Ф {t, и) = ехр {qt (е1 <“• г°> — 1 — i (и, г0))}.

(1(0) = 0)

I (0 = z0 (V (0 — qt),

g{u) — i {a, u) + q ^ (el г) — 1) П0 (du)

Ф (t, u) — el {dt< “>

= exp 11 'Y« + J (elux — 1 — dG (x)^ J,

на (—оо, оо) функция, выражение [etax — I при x = 0 определено по непрерывности и равно —
42

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ

[ГЛ. I

Для того чтобы получить представление характеристической функции произвольного стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями, воспользуемся следующей известной теоремой А. Я. Хинчина [2].

Теорема 5. Предположим, что распределения последовательности случайных векторов ?„ = lnl + \ni “Ь • • • + ?«т„> п =

— 1, 2, где |п1, ..., |„Шп— независимые (при данном п) случайные векторы, удовлетворяющие условию

lim max Р {| lnk | > е} = 0 Ve > О,

оо

слабо сходятся к некоторому пределу. Тогда предельное распределение безгранично делимо.

Доказательство в одномерном случае можно найти, например, в монографиях Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [1] и В. В. Петрова [1]. Переход к многомерному случаю не вызывает затруднений.

Из теоремы 5 вытекает следующая формула для характеристической функции ф (t,u) стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями |(?) (?(0) = 0):

Ф ((, и) = ехр | i (а {!), и) — -у (й (О и, и) +

+ S [‘‘21 - 1 - TTjfV] птг1 п <'• ¦ <20>

а характеристическая функция приращения ?(/)—К5), 0 ^ s <; t, может быть записана в виде

ф(5, t; u) = exp{g(?, u)~g(s, и)}. (21)

§ 4. Марковские процессы в широком смысле

В основе понятия марковского процесса лежит идея о процессах «без последействия». Представим себе систему (частицу), которая может находиться в разных состояниях. Возможные состояния системы образуют некоторое множество X, называемое фазовым пространством. Примем, что система эволюционирует во времени. Ее состояние в момент времени t обозначим через xt. Если xt е В, где В а X, то будем говорить, что система в момент времени t находится во множестве В. Предположим, что эволюция системы имеет стохастический характер, т. е. состояние системы в момент времени t, вообще говоря, не определяется однозначно через состояния системы в моменты
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ

43

времени, предшествующие s, где s < t, а является случайным и описывается определенными теоретико-вероятностными законами. Обозначим через Р (s, х, t, В) вероятность события xt е е В (s < /) при условии, что = х.

Функцию P(s, х, t, В) называют вероятностью перехода рассматриваемой системы. Под системой без последействия понимают систему, для которой вероятность попадания в момент времени t во множество В при полностью известном движении системы до момента времени s(s <С t) по-прежнему равна p(s, х, t, В) и, таким образом, зависит только от состояния системы в последний известный момент времени. Полная формализация этого определения будет дана в гл. VII, сейчас же будет приведено простое, но достаточное для ряда задач определение этого понятия.

Обозначим через Р (s, х, и, у, t, В) условную вероятность события xt е В при гипотезах xs = х, хи = у (s <. и <. i). В соответствии с общими свойствами условных вероятностей имеет место равенство

Р (s, х, t, В) = J Р (s, х, и, у, t, В) Р (s, х, и, dy). (1) х

Для системы без последействия естественно предположить, что P(s, х, и, у, t, В) = р (и, у, t, В). В этом случае равенство (1) принимает вид

Р (s, *, t, В) = J Р (и, у, t, В) Р (s, *, и, dy). (2)
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed