Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Tj = P(s,t)f,
T*stm = т*Р* (s, t),
Р (s, t) = Р (s, и) P (и, t) (s^.u^.t).
Множество 2D состоит из всех последовательностей {/(/), / ^ X], для которых предел
/л*\/-\ .• V1 Pil(s~ h' s)~6u t /л
§ 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 51
существует при любом i е X, s е (0, /) и
lim ? Рц (t — h, t)f(j) = f(i).
ftiO /еХ
Здесь 8ц = 1 при i = / и б,.,- = 0, если i ф /.
Например, если для каждой пары (t, |)е!Х^ и se(0, d существует конечный предел
Pi, (s — h, s) — 6,-,
fli,(s) = lim---------1(11)
to & содержит все те последовательности f(j), для которых ? I f (/) I < 00 и ПРИ этом
/С (Asf)(i)= Z au(s)f(i). (12)
l^x
Последнее замечание во многих случаях оказывается недостаточным и нуждается в усилении.
В связи с этим отметим, что если пределы (11) существуют, то
— a, (s) = ан (s)< 0, a(/(s)> 0 (i?*D-
Из неравенства
1 — Рц {s — h.s) ^ Рц (5 “ h< s)
h ^ Z_i h
где / — конечное множество индексов и i Ш J, вытекает, что
E('4Hs)<a,(s), (13)
где ?(i) означает сумму по всем /еДЙ. В достаточно ре-/
гулярных случаях, например, если ряд
'(*) Рц (s — h, s)
Г
1
сходится равномерно по h > 0 при любом s ^ О, неравенство (13) можно заменить равенством
?(<) ац («) = ai(s). (14)
/
Лемма 1. Если при любых (г, /)еХХ^ « s>0 предел (11) существуют и выполняется равенство (14), то ?Ь содержит все ограниченные последовательности {/(/),
Доказательство. Заметим, что в условиях леммы ряд (12) сходится абсолютно. Не уменьшая общности, можно считать,
52 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 1ГЛ. t
что sup|/(/) ] ^ 1. Рассмотрим разность
Д= ? ? »«/<*>/</>•
/ei /еХ
Возьмем произвольное число е > 0 и найдем такое конечное множество J czX, что is / и
? a{1(s) = - ? a,7(s)<-f-.
/еХ\/ /е/
Имеем теперь неравенство |4К + ?
Найдем такое Л0 > 0, чтобы первое слагаемое в правой части последнего неравенства было <-|- для всех fte(0, h0). При этом окажется, что
?
/еХ\/
Рг/ (s — Л, s)
/е/ /е/
Таким образом, при h е (0, h0) | Л| < е. ¦
Чтобы получить обратные уравнения Колмогорова для рассматриваемых процессов, усилим требования существования пределов (И) несколько более сильным условием существования пределов
lim 6‘!. = а t/(s). (15)
s, + s, s2-Vs 2 *1
Заметим, что так же, как лемма 1, доказывается следующее утверждение: если в точке s для всех / пределы (15) существуют и выполнено равенство (14), то ряд
сходится равномерно по Sj и s2, sx < s < s2, s2 — Si <; h0.
Теорема 1. Если для любых (i, /, s) е X X X X (0, t) пределы (15) существуют и удовлетворяют равенствам (14), то вероятности Pij{s, t) дифференцируемы по s, 0 < s < t, и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (первая
§ 4) МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 53
система уравнений Колмогорова) dPjj(s, t)
ds
х^Х
Y, aik(s)pki(s, t). (17)
Доказательство. Так как ЭРц(*‘*) .... Ит О
^S S,is, s2 S1
/«=*
TO
llm у fe, ,)f
Yj aibPbi (s’ :
ds
= Ит E [ P‘fe ^j", a<* ~ (s)] Рц (s2. 0 +
s, + s, S2+i/<=A: L 2 1 J
+ lim у alk (s) [pkj (s2, t) — pkj (sb /)] = 0 /tx
в силу ранее упомянутой равномерной сходимости ряда (16).Щ Переходя к выводу второй системы уравнений Колмогорова, ограничимся случаем конечного числа состояний (X состоит из конечного числа точек). Будем предполагать, что пределы (15J существуют. Тогда соотношения (14) автоматически выполняются.
Пусть
Щ (0 = ? mkpkj (s, t), t > s.
kElX
Тогда {ti < t < t2) mi (*2)-«/(*i)
^2 — 11 _
