Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
в^-, При этом Д?2 и ДНз независимы. q (s, х) г в я
Если в формуле (41) q(s, х, B)s= 0, то соответствующий марковский процесс называется диффузионным. В этом случае главная часть смещения Ag(s) состоит из неслучайного слагаемого a(s, gs)As (вектора переноса) и из флуктуационного члена, имеющего ^-мерное гауссово распределение со средним значением 0 и корреляционной матрицей b(s, gs)As.
Диффузионные процессы играют важную роль в теории и в применениях марковских процессов и подробнее рассматриваются в гл. VIII. Здесь же ограничимся тем, что приведем несколько иное определение диффузионного процесса и уточним для него вывод дифференциальных уравнений Колмогорова.
Определение. Марковский процесс в широком смысле называется диффузионным, если выполняются следующие условия:
1) для произвольного е>0 равномерно по t < s
Р (5, я, t, Se (х)) — о(( — s), (43)
где Se (х) — дополнение к сфере SE (х) радиуса в с центром в точке х;
2) существует такая функция a(s, х) со значениями в 0ld и линейный симметрический неотрицательно определенный оператор b(s, х), отображающий в $?d ((s, *)e[0, t*]X&d), что для произвольного хе! и е > 0 равномерно по s, s < t,
\ {y — x)P{s,x,t,dy) = a(s,x)(t — s) + o(t — s), (44)
seW
\ (z, у xf P (s, X, t, dy) = (b (5, x)z, z){t — s) + o(t — s). (45) «,<*>
68 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. Г
Вектор a(s, х) называется вектором переноса, а оператор b(s, л-)—оператором диффузии марковского процесса.
Выберем в 3Zd некоторый базис и обозначим через ai(s, х),
i = 1, m, компоненты вектора a(s, х), а через х),
i, j = 1, m, элементы матрицы оператора b(s, х) в этом базисе.
Теорема 6. Если функции a(s, х), b(s, х) непрерывны, a f(x) непрерывна, ограничена и такова, что функция
u{s, х)= ^ / {у) Р (s, х, t, dy)
ди (s, х) д2и (s, х) ,
имеет непрерывные частные производные ——, qx_qx
то и (s, х) имеет производную , удовлетворяет уравнению
- ^ir1 = (a *)’ V)и (3> X) + T{b X) v, V) и (s, х) (46) и граничному условию
lim и (s, х) = / {х). (47)
S^t
Доказательство. Пусть si^ss^s2<f. Так как функция u(s, х) ограничена, то
u{su x) — u{s2, х)= \ [u(s2, y) — u(s2, x)]P(s,, х, s2, dy) —
nd
= \ [«(«2. y) — u (s2, x)\ P (Si, X, s2, dy) + os (s2 — Si),
se W
где °e {-SVT slL —> о ПрИ любом фиксированном e > 0. Из фор-
S 2 Si
мулы Тейлора вытекает, что и у) — и (s2, х) =
= (у — х, V) и (s2, х) + j (у — х, V)2 и (s2, х) + г (х, у, s2),
причем при у €= Se {х) \ г {х, у, s2) КI у — х |2 сое, где
д2и (s2, х + G {у — х)) д2и (s2, х)
sup
i, i, s2, y<^SB {x)
dx.dXj dxt dx.
при e->0. Отсюда следует равенство u(su x) u(s2, x) =
= [(a (s2, x), V) и (s2, x) + f{b (s2, x) V, V) и (s2, x) + /?'] (s2 — s,), (48)
§ 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 69
где lim lim R' = 0. Разделив полученное соотношение на s2—sh
е-»-0 s2-s,io
перейдя к пределу при s2 j s, Si f s и учитывая непрерывность первых трех слагаемых в правой части формулы (48) по s2, получим уравнение (46).
Граничное условие (47) вытекает из равенства
«(s, X) — f(x) = ( [/ (у) — / (*)] Р (s, х, t, dy) + oe(t — s),
Se (*)
в котором e > 0 — произвольно малое число, и из непрерывности f(x). Ш
Допустим теперь, что существует плотность вероятностей перехода, т. е. такая функция p(s, х, t, у), что для любого бо-релевского множества В
Р (s, х, t, B)=\fp (s, х, t, у) dy,
в
где интегрирование производится по лебеговой мере в Уравнение Колмогорова — Чепмена в этом случае можно записать в виде
р (s, х, t, у) — jj р (s, х, и, z) р (и, z, t, у) dz, s <u<t. (49)
Если p(s, х, t, у), как функция от (t, у), достаточно гладкая, то она удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, носящему еще название уравнения Фоккера — Планка.
Теорема 7. Если соотношения (43), (44), (45) выполняются равномерно по х и существуют непрерывные производ-
др (s, х, t, у) д (ai(t, у) р (s, х, t, у)) д2 (btf {t, у) р (s, х, t, у))
Hbie -------1з----------------------------, ¦——----------------------------=;-=-,
at дх. дх.дх. ’
I I /
то функция P(S, х, t, у) при (t, y)^(s, t*)X&d удовлетворяет уравнению
dp (s, х, t, у)
dt ~
= — (V, a (t, у) р (s, х, t, у)) ~b J (V, Vb (t, у) р (s, х, t, у)). (50)
