Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ds
и граничному условию
lim fs(x) = f (х).
sf t
(30)
Уравнение (29) является первым уравнением Колмогорова для регулярных скачкообразных процессов, а оператор As, вве-денный ранее, в данном случае имеет вид
AJ (х) = a (s, х) [- / (х) + J / (у) П (s, х, dy)].
§41
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
59
Следствие. Вероятности перехода Р(s, х, t, В) регулярного скачкообразного процесса дифференцируемы по s, s <С t, удовлетворяют уравнению др (S, ж, t, В) _
~ds
= a(s, х) [р(s, х, t, B)-JP (s, у, t, В) IT (s, x, dy)] (31)
и граничному условию
lim P (s, x, t, B) — % (В, x).
s^t
Покажем теперь, что при определенных условиях функции a(t, х) и a(t, х, В) однозначно определяют регулярный скачкообразный марковский процесс в широком смысле. Речь идет в первую очередь о решении уравнений (26) или (29) при соответствующих граничных условиях.
Пусть / = [0, t*). В соответствии с требованиями регулярности скачкообразного процесса наложим на функции a(t, х) и a(t, х, В) следующие условия:
а) при фиксированных (t, х)^1'ХХ функция a(t, х, В) является мерой на 9, a(t, х, {х}) = 0 и a(t, х)~ a(t, х, X);
б) при фиксированных (х, В) функция a(t, х, В), t^I, непрерывна по t равномерно по (х, В), а при фиксированных КА В) она ©-измерима, как функция от х.
Введем пространство Ж = Ж(Ю) всех конечных вполне аддитивных функций (конечных зарядов) w(B), заданных на измеримом пространстве {X, S3}. В Ж определим расстояние p(wu w2) с помощью соотношения
р (wu w2) = II wx (В) — w2 (В) II, wt е= Ж,
где
|| w (В) || == sup {| ш (В) |, Be 23}.
Нетрудно убедиться, что W является полным линейным нормированным пространством. Будем понимать уравнения (25) и (27) как уравнения в пространстве Ж и соответственно интерпретировать понятие производной в левой части равенства (25).
Введем еще пространство <&w[s, t*) непрерывных функций w = wt — wt(B), t е [s, t*], со значениями в W и нормой
II w III = max {II m II, t <= [s, **]}.
Теорема 4. Если функция a(t, x, В) удовлетворяет условиям а) и б), то система уравнений (25) и (27) имеет в единственное решение. Это решение является мерой, если т(В) является мерой.
Доказательство. Заметим, что из условия б) вытекает, что Функция a(t, х) равномерно ограничена по {t, х), a(t, х)^
60 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
^ К <С оо. Введем функцию qt(B) в '8w\s, #*], положив qt (В) = ^ ехр | ^ а (9, х) dQ | ntt (dx).
Если функция ntt дифференцируема в Ж, то таковой же будет и qt, и обратно, причем
а(*> ^ qt ^ + S ехр I \ а ^9’ dQ ! ~W (dx)-
В В I s )
dmt
Подставляя в эту формулу вместо —г^~ выражение из уравнения (25), получим
^ S S ехр { S ^ ^0’ х)~а (0> УЯ dQ } а У' йх) & №у) —
В X
= ^b(t, у, B)qt(dy), х
где
b(t, у, В)= ^ ехр| 5 fa^0, х)~а(д> У)\ ^9 |а(/, у, dx).
Таким образом, уравнения (25), (27) эквивалентны уравнению
t
qt(B) = т(В) + ^ Ь (0, у, В) qe (dy) dQ, t e= [s, f], (32)
s X
где b(t, у, В) равномерно ограничена, b(t, у, B)^K\ и, как функция от В, является мерой. Оператор Q* в <S’W, определяе> мый равенством
(В) = т (В) + 5 J Ъ (0, у, В) we (dy) dQ,
s X
удовлетворяет соотношениям
II (Q*w')t - (Q*w")t II < 2/Ci (t — s) III w' — w" III,
ii (Q*n&')t - (Qtnw")t ii <mnin w' - w" iii ,
где Q*n обозначает п-ю степень оператора Q*. Таким образом, некоторая Степень оператора Q* является сжимающим оператором и, в силу принципа сжатых отображений, уравнение (32)' имеет в CBW единственное решение. Это решение может быть получено с помощью метода последовательных приближений,
g ч] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 61
и поэтому, если т(В) является мерой, то таковой будет а qt(B). ¦
Аналогично можно рассмотреть уравнение (29). Подстановка
fs(*) = exp j —j а(0, *)cf0 jgs(*)
приводит уравнение (29) к эквивалентному, несколько более простому уравнению
dt
= — \ Ss (у) ехр | j [а (0, х) —а (0, у)\ dd j a (s, х, dy),
(s < t) с граничным условием gt(x)=f(x). В свою очередь это уравнение эквивалентно уравнению
gs(x) — f М +
+и g0 (у) ехр | j [а (0, х) — а (0, у)] cf0 j а (о, х, dy) dv. (33)
Введем пространство *8^<s3) fO, t] непрерывных функций f = s= fs = fs(x) аргумента s со значениями в &(Ъ) и с нормой |j|f j|| == sup {\fs{x) |, (s, x)e[0, Линейный оператор Q
в с®) [0, fj, определяемый формулой
«Ш*)= ,
= + И ёо ^ ехр N ^ ^9’ х)~а (0) УК de\a dy) dv>
s X к j
