Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
В § 3 была полностью выяснена структура семейства мер Ps(, удовлетворяющих равенству (37), в случае, когда пространство X конечномерно (X = 31й), а процесс с независимыми приращениями стохастически непрерывен и однороден во времени (т. е. Рst(B)= Pt-S(B)). При этих предположениях характеристическую функцию ф(/, и) распределения Pt(B) можно представить в виде
где а е SZd, b — некоторое линейное неотрицательное определенное симметрическое отображение 52й в П — конечная мера на S3 и П {0} = 0.
Положим
fs(x) = \ f (y)P(s, х, t, dy) — J f(x + у) Pst (dy), s<t.
Очевидно, что если f(x)—дважды непрерывно дифференцируемая функция, ограниченная вместе со своими частными производными первого и второго порядка, то этими же свойствами обладает функция fs(x). Имеем
Р(0, х0, tu dX:)P(iu хи t2, dx2) ...
= J [/s (X + 2)- fs (*)] ±- PS_A „ (dz) =
= ИА, V/,(*))-y(fiAV, V/, (x))+\[f (x + z)-f(x)
(Z, 7) fs (x) , _
l+l*|3 .-Г.- | -¦
(г, 7) fs (x) l + l*la
5 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 65
где мера Пh(dz) определяется из (10) § 3 и (a, V)fs(x) —
dfs (х)
*“2*°* ~дН~'
1
Ah = \ {Z' ПА (dz), Bh = J ПЛ (dz).
Из результатов § 3 (см. доказательство теоремы 3) следует,
dfs (х)
что существует производная —~—, удовлетворяющая урав-
нению
= (а, V) U (х) - 1 (йV, V) fs (х) +
+ J [f,(х + z) - U (х) - Щр1 П (dz), (39)
Sid
где
(W,v)f,w= ?
А,/ = 1 В 1
Последнее уравнение может быть преобразовано к виду (см. формулу (17) § 3)
= V)fs(x) + ±(bV> V)M*) +
+ J [fs(* + z)-fs(*)in(dz) +
std\sc
+ \ [fs (x + z) — fs (x) — (z, V) fs (*)] П (dz), (40)
sc
где Scj—- сфера в $,d с центром в начале координат радиуса с, мера П теперь не обязательно конечна, но по-прежнему П {0} = = 0 и
^ | z |2П (dz) < оо, П ($.d \ Sc) < оо.
Слабо дифференцируемые марковские процессы в широком смысле. При изучении марковских процессов в конечномерном пространстве &Ld представляется естественным рассмотреть класс процессов, имеющих такую же локальную структуру, что и процессы с независимыми приращениями. Можно дать следующее определение процессов подобного рода.
66 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
Введем характеристическую функцию распределения Р (s,x,t,B):
qp(s, х, t,u) = ^ ei^u-y)P(s, x, t, dy), s<t, qp(s, x, s, u) = l.
md
Назовем марковский процесс в широком смысле слабо дифференцируемым, если функция qp(s, х, t, и) дифференцируема по s в точке s = t равномерно в конечной области изменения и, т. е. если предел
,, ч / (s, х, t, и) — 1
g (t, х, и) = lim - ¦ ¦¦’ ¦; --
существует равномерно по и при |u|^iV, где N произвольно, для всех х е &d, / е( 0, t*).
Из результатов теоремы 1 § 3 следует, что если марковский процесс слабо дифференцируем, то существует вектор a(s, х), a(s, ijel11, неотрицательно определенное симметрическое отображение b(s, x)i=5?d в &d и мера q(s, х, В) на 53 такие, что для произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции f{x), xe.@ld, ограниченной вместе со своими частными производными первого и второго порядка, имеет место равенство
Asf {х) = lim =
Л'Ю п
= (a (s, х), V) f(x) + -j {b (s, х) V, V) f {х) +
+ 5 U(x + z) — f Ml Я (s, X, dz) +
md\s
+ \ U {х + г) — f (х) — {z, V) f (ж)] q {s, x, dz), (41)
5
причем q(s, x, {0}) = 0, q(s, x, &d\S)< oo и
^ | z \2q(s, x, dz) < oo. s
В частности, если q(s, x)—q(s, x, Md)<.oo, то предыдущую формулу можно записать в виде
AJ (*) = (Я {s, х), V) !(х) + ^ (Ь (s, х) V, V) f (х) —
Я (s, x)f(x)— \ f{x + z)q (s, х, dz) .
std J
(42)
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
67
Если a(s, л:) =0, b(s, х) &з 0, то соответствующий марковский процесс является, как следует из предыдущего, скачкообразным процессом.
В общем случае соотношение (41) можно интерпретировать следующим образом. Обозначим через ?(/) состояние системы, характеризуемой рассматриваемым марковским процессом. Допустим, что g(s)=x. Тогда Ag(s) = g(s-f-As)—х с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно представить В виде A?(s) = Agi + Д?г + Д|з, гДе соответствует неслучайной составляющей смещения Дg(s) и может быть представлено в виде Д6, = a(s, ж)Д5, Д?2 соответствует смещению ви-неровского процесса с дисперсионной матрицей b(s, x)As, а Д|з равно 0 с вероятностью 1 — q(s, х)Д5, а с вероятностью q(s, х) совпадает со случайным вектором, имеющим распределение
