Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
отображает множество неотрицательных функций пространства №) [0, f] в себя, причем
II т% - №')* II < ка а - s) hi g' - г к, ii (W)s - mis \\<-K—-~s)n in g' - r in.
где /f2 — KeKt. Таким образом, некоторая степень оператора Q является сжимающим оператором и уравнение (33), а вместе с ним и уравнение (29) при граничном условии (30) имеют в 'g’^JfO, t] единственное решение.
Теорема 5. Если функция a(t, х, В) удовлетворяет условиям а) и б), то уравнение (29) — (30) имеют единственное решение. В частности, в рассматриваемом случае вероятности перехода соответствующего процесса определяются функцией a{t, х, В\ однозначно.
62 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
Замечание. Решение уравнения (33) может быть получено методом последовательных приближений. В соответствии с этим решение уравнений (29) — (30) можно представить в виде
00
/,(*) = ?/<я)(*),
л=о
где
/<о> (*) = ехр | ~ j а (0, х) йв | / (л:),
/<"+!) [х)= \ \ Цп)(у)ех р| ~ ^ а(6, x)do\a(v, х, dy)dv.
s х ^ s )
В частности, для вероятностей перехода P(s, х, t, В) получаем
следующие выражения:
00
P(s,x,t,B) = ZP<n)(s,x,t,B), (34)
fit—О
где
Р(0) (s, х, t, В) = ехр { — \ а (в, x)dQ\% (В, х), (35)
Р{n+l)(s, х, t, В) =
=55 ^<n) ^v’ У’ ^ехр I— 5а ^ ^ [а ^v’х> ^
s X s )
Функции P(n)(s, х, t, В) имеют простую теоретико-вероятностную интерпретацию. Она будет приведена в § 2 гл. VII, где будет также показано, как по заданной функции a(s, х, В) можно построить марковский процесс при условиях более широких, чем рассматриваемые здесь.
Полученные результаты могут быть применены к процессам со счетным числом состояний. В этом случае пространство X состоит из счетного числа точек и достаточно рассматривать вероятности перехода в одноточечные множества. Пусть Pij(s, t) — P(s, t, /,{/}), t, jsl Вместо функции a(s, x, B) рассмотрим функцию a(s, i, j):
a (s, i, j) = lim -i! (, i ф j,
s
совпадающую с ранее введенной функцией a;j(s). Условия а)'
и б) для нее принимают следующий вид: a) a (t, /) = ? a(t,i,j),
}^Х
где a (s, i) = lim (1 — plt (s, t))(i — s)~l; 6) a(t, i, j) непре-
s 4j МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 63
рывны по t на [0, /*] равномерно относительно (/, /). Если эти
условия выполнены, то первое и второе уравнения Колмогорова для марковских процессов со счетным числом состояний имеют единственные решения, которые могут быть получены по ранее указанным формулам. Например,
оо
Pi/(s, *)= Z p\f(s, t),
п=> 0
где ( ' 1
pf/ (S, t) = ехр | — J at (0) dQ j bih
p(i}+l) (s, t) — \ ? p$ (v, t) exp | — ^ й,- (0) dQ | aik (v) dv,
s tsl s J
n — 0, 1,2, ...
Процессы с независимыми приращениями. Эти процессы являются частным случаем марковских процессов. Пусть X — векторное метрическое пространство, 9 — ст-алгебра борелевских множеств X. Через В -j- х (В с X, х е X) обозначим параллельный сдвиг множества В на вектор х: В + х {у: y — z + х, z е В}.
Рассмотрим семейство вероятностных мер Psf(-) на 9
(s ^ 0, />5), удовлетворяющих следующим условиям:
а) Pst(B — х) является 9-измеримой функцией от х при любом Ве8;
б) если 5 < и < /, то
Р5Пй)=$РиИВ-*/)РЛ). (37)
х
Нетрудно проверить, что для произвольной ограниченной ©-измеримой функции f(x) имеет место равенство
$/(* + #) Ps< (dy) = $/(#) Р5/ (dy — х) х х
(для индикаторов 9-измеримых множеств оно тривиально). Поэтому из (37) следует
Prf (В — х) = J Put (В — у) Р5Ц (dy — х). х
Следовательно, если положить P(s, х, t, B)=pst(B — x), то Функция P(s, х, t, В) будет вероятностью перехода. Она обла-Дает пространственной однородностью. Это означает, что
Р («, х + у, t, В + у) = Р (s, х, t, В)
64
СЛУЧАЙНЫЕ процессы в ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
[ГЛ. I
для всех jel Обратно, еслц вероятности перехода обладают этим свойством, то Р (s, х, t, В) — Pst (В — х).
Зададим на {X, S3} произвольную вероятностную меру и рассмотрим семейство распределений {Р<,.......<я, ... < tn,
п= 1, 2, ..где Р(].......tn(B(rt)) есть распределение на {Л>, S3"},
определяемое формулой (№>?9")
Нетрудно проверить, что введенное семейство распределений определяет процесс с независимыми приращениями.