Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 24

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 214 >> Следующая

отображает множество неотрицательных функций пространства №) [0, f] в себя, причем

II т% - №')* II < ка а - s) hi g' - г к, ii (W)s - mis \\<-K—-~s)n in g' - r in.

где /f2 — KeKt. Таким образом, некоторая степень оператора Q является сжимающим оператором и уравнение (33), а вместе с ним и уравнение (29) при граничном условии (30) имеют в 'g’^JfO, t] единственное решение.

Теорема 5. Если функция a(t, х, В) удовлетворяет условиям а) и б), то уравнение (29) — (30) имеют единственное решение. В частности, в рассматриваемом случае вероятности перехода соответствующего процесса определяются функцией a{t, х, В\ однозначно.
62 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I

Замечание. Решение уравнения (33) может быть получено методом последовательных приближений. В соответствии с этим решение уравнений (29) — (30) можно представить в виде

00

/,(*) = ?/<я)(*),

л=о

где

/<о> (*) = ехр | ~ j а (0, х) йв | / (л:),

/<"+!) [х)= \ \ Цп)(у)ех р| ~ ^ а(6, x)do\a(v, х, dy)dv.

s х ^ s )

В частности, для вероятностей перехода P(s, х, t, В) получаем

следующие выражения:

00

P(s,x,t,B) = ZP<n)(s,x,t,B), (34)

fit—О

где

Р(0) (s, х, t, В) = ехр { — \ а (в, x)dQ\% (В, х), (35)

Р{n+l)(s, х, t, В) =

=55 ^<n) ^v’ У’ ^ехр I— 5а ^ ^ [а ^v’х> ^

s X s )

Функции P(n)(s, х, t, В) имеют простую теоретико-вероятностную интерпретацию. Она будет приведена в § 2 гл. VII, где будет также показано, как по заданной функции a(s, х, В) можно построить марковский процесс при условиях более широких, чем рассматриваемые здесь.

Полученные результаты могут быть применены к процессам со счетным числом состояний. В этом случае пространство X состоит из счетного числа точек и достаточно рассматривать вероятности перехода в одноточечные множества. Пусть Pij(s, t) — P(s, t, /,{/}), t, jsl Вместо функции a(s, x, B) рассмотрим функцию a(s, i, j):

a (s, i, j) = lim -i! (, i ф j,

s

совпадающую с ранее введенной функцией a;j(s). Условия а)'

и б) для нее принимают следующий вид: a) a (t, /) = ? a(t,i,j),

}^Х

где a (s, i) = lim (1 — plt (s, t))(i — s)~l; 6) a(t, i, j) непре-
s 4j МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 63

рывны по t на [0, /*] равномерно относительно (/, /). Если эти

условия выполнены, то первое и второе уравнения Колмогорова для марковских процессов со счетным числом состояний имеют единственные решения, которые могут быть получены по ранее указанным формулам. Например,

оо

Pi/(s, *)= Z p\f(s, t),

п=> 0

где ( ' 1

pf/ (S, t) = ехр | — J at (0) dQ j bih

p(i}+l) (s, t) — \ ? p$ (v, t) exp | — ^ й,- (0) dQ | aik (v) dv,

s tsl s J

n — 0, 1,2, ...

Процессы с независимыми приращениями. Эти процессы являются частным случаем марковских процессов. Пусть X — векторное метрическое пространство, 9 — ст-алгебра борелевских множеств X. Через В -j- х (В с X, х е X) обозначим параллельный сдвиг множества В на вектор х: В + х {у: y — z + х, z е В}.

Рассмотрим семейство вероятностных мер Psf(-) на 9

(s ^ 0, />5), удовлетворяющих следующим условиям:

а) Pst(B — х) является 9-измеримой функцией от х при любом Ве8;

б) если 5 < и < /, то

Р5Пй)=$РиИВ-*/)РЛ). (37)

х

Нетрудно проверить, что для произвольной ограниченной ©-измеримой функции f(x) имеет место равенство

$/(* + #) Ps< (dy) = $/(#) Р5/ (dy — х) х х

(для индикаторов 9-измеримых множеств оно тривиально). Поэтому из (37) следует

Prf (В — х) = J Put (В — у) Р5Ц (dy — х). х

Следовательно, если положить P(s, х, t, B)=pst(B — x), то Функция P(s, х, t, В) будет вероятностью перехода. Она обла-Дает пространственной однородностью. Это означает, что

Р («, х + у, t, В + у) = Р (s, х, t, В)
64

СЛУЧАЙНЫЕ процессы в ШИРОКОМ СМЫСЛЕ

[ГЛ. I

для всех jel Обратно, еслц вероятности перехода обладают этим свойством, то Р (s, х, t, В) — Pst (В — х).

Зададим на {X, S3} произвольную вероятностную меру и рассмотрим семейство распределений {Р<,.......<я, ... < tn,

п= 1, 2, ..где Р(].......tn(B(rt)) есть распределение на {Л>, S3"},

определяемое формулой (№>?9")

Нетрудно проверить, что введенное семейство распределений определяет процесс с независимыми приращениями.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed