Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Безгранично делимые распределения играют важную роль в предельных теоремах теории вероятностей и в теории случайных процессов. С одной стороны, только безгранично делимые распределения могут быть предельными распределениями сумм бесконечно малых независимых слагаемых. С другой стороны, конечномерные распределения стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями являются безгранично делимыми.
Найдем общий вид характеристической функции ф (и) безгранично делимого распределения. Ее также называют безгранично делимой характеристической функцией.
Из определения следует, что для любого п найдется характеристическая функция ф„(и) такая, что
Условимся считать, что функция а^ф(и) определена однозначно с помощью условий: 1) а^ф(0) = 0; 2) а^ф(и) является непрерывной функцией от и (— оо < и <с оо). В этом
случае можно однозначно определить In ф (и) и[ф(ы)]л, положив
Теорема 1. Пусть ф(h, и), h^H, — семейство характеристических функций, Н — монотонно убывающая последовательность положительных чисел, сходящихся к 0, и предел
существует равномерно в произвольной сфере |и|^Л^, N > 0. Тогда в {52d, 33d} существуют конечная мера П(В), П {0} = 0, неотрицательно определенный оператор Ь, отображающий 31й в 3ld, и вектор а такие, что
Ф (и) = [Ф„ (и)\п.
(7)
г / VI"V И 1пф(«)
[ф (ы)] п — е п . При этом
lim п (ф„ (и) — 1) = lim п ([ф (u)]rt — l) = In ф (и). (8)
(9)
g (и) = i {а, и) — у (Ьи, и) +
+ <10>
36 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОЛ1 СМЫСЛЕ [ГЛ. г
Доказательство. Пусть Qл(-)—распределение, соответствующее характеристической функции <p{h, и). Положим
Пл W = Т S ТТТIF Qa {dz)’ В е ^ •
В
Ниже будет показано, что семейство мер {Пл(-), Л е #} слабо компактно. Выберем последовательность hn | 0 такую, что Плл слабо сходятся к некоторой мере П' на 33d. Далее,
= iAh(u) — уВЛ(«)+ J f (и, z)nh(dz), (11)
Sid
АМ= n*(dz), 5*(и)= $-Т5ТГп kidz),
где
f(u ) ^ (ei (и. z)__ J _ JJiijL -i. 1 К.?)2.л J +1.? I2
IKU,z) — ye i I + |z)2 2 i + |zp; |Z|2 •
Если считать, что /(«, 0) = 0, то /(«, 2) будет непрерывной и ограниченной функцией. Поэтому
lim [ / (и, z) Пл (dz) = [ } (и, z) IT (dz).
Sid Sid
Так как существует предел левой части равенства (11) при h = hn, n -> оо, то существуют пределы
lim Ahn [и) = а (и), lim Внп (и) — В (и),
причем а (и) является линейной функций, а В (и)—положительно определенной квадратической формой, т. е. a(u) = (a,u) и В(и)~(Ь'и, и), где Ь' — неотрицательно определенный симметрический оператор. Переходя в соотношении (11) к пределу по последовательности hn, получим
g {и) = i {а, и) — j (b'u, «) + J / (и, г) П' (dz). (12)
пЛ
Пусть П(Л)=1Г(Л— {0}) ({0} — множество, состоящее из одной точки 0). В интеграле в правой части равенства (12) меру П'('). можно заменить мерой П(*)- С другой стороны, интеграл
|zj*
Sid
zY Yl(dz)
§ з] ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 37
существует и представляет собой некоторую квадратическую неотрицательно определенную форму (Ь"и, и). Нетрудно заметить, что (Ь'и, и)~^(Ь"и, и). Поэтому Ь = Ь' — Ь" неотрицательно определенный симметрический оператор. Таким образом,
g(u) = i(a, и) — j(te, и)+ ^ (/(Ц, z) — 1 П(dz). Ш
Перейдем к доказательству слабой компактности семейства {П/„ h <= Н}. Нужно показать, что
а) ПЛ($^Х1; б) lim lim Пл (KN) = О,
N-^oo h-ifО
где Клт обозначает замкнутый куб
Kn = {z = (z1, zd): тах^КЛ^,
a KN = &d\KN.
Пусть | ы | г^; Д/ь TVt произвольно. Из условий теоремы и (11) следует, что для любого б > О найдется такое А0 = hQ(Ni, б), что для любого с > О
- Reg(и) + б> $ Z) Пh(dz), Л<Л0,
^С
и при с > 1
— Re g (и) + б ^ ^ (1 — cos (и, z)) ПЛ (dz).
Проинтегрируем эти неравенства по и ^ Кр и разделим на объем /Ср. Получим
Л Л / т \
-(2p)~d \rzg(u)du + b^ J-i-h _Д J^Hijn*(rfz) (13) Кр Кс \ k=\ J
и
-(2рГ‘1 \Reg(»)<te + «> -ТТ (14)
4 рг !
Воспользуемся тем, что >1— для всех х>0 и
1 ~ ГГ (1 — а*)> Z а* — S а*а/ для всех а* е[0, 1]. Получим
38
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
