Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 9

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 214 >> Следующая


достаточно большом, N^N0{e), имеем Pi max 11 (0,) | > 4rj<4-

I1</<п 1) г

я Р{1|(Э)1>Л0<е. а

Определение. Случайную функцию ?(0) называют равномерно стохастически непрерывной на 0, если для произвольного е > 0 можно найти такое б > 0, что

Р{16(в)-6(0')1>е}<е

для всех 0 и 0', для которых г (0, 0') < 6.

Теорема 2. Если 0 — компакт, случайная функция |(0) стохастически непрерывна на 0, то ?(0) равномерно стохастически непрерывна на 0.

Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы такое е>0 и для любого п пара точек &п, в'п, для которых r(Qn, 9^) <

<-|j- и P{|g(0rt) —> е|^е. Из компактности 0 следует,

что можно выбрать подпоследовательность индексов пь так, чтобы 0П^ и 0' сходились к некоторому пределу 0о. Тогда

«<р{|Н9»,)-ЧеУ1>')<р{|Ч%)-Нв.)|>т} + + p{W-He-,)l>i}-

В силу стохастической непрерывности ?(0) правая часть по* следнего неравенства -vO при k -> 0. Мы пришли к противоречию, и тем самым теорема доказана.

§ 2. Гауссовы случайные функции

Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Приведем прежде всего определение и основные свойства многомерного гауссова распределения.

Определение. Случайный вектор ?=(|ь |2, ..., |„) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде

(1)

где m = (mu m2) ..., mn), и = (м1( и2, ..., м„)— векторы, R — неотрицательно определенная вещественная симметрическая матрица, R = (Гщ), К k = 1, 2, ..., п. Здесь (а, (5) обозначает
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

23

скалярное произведение векторов аир, так что

П

П

{m, и) = Ц mkuk, {Ru, и) = ? rjkUjUk.

Следующая теорема служит формальным оправданием данного определения.

Теорема 1. Для того чтобы функция

была характеристической функцией распределения некоторого п-мерного случайного вектора необходимо и достаточно, чтобы вещественная матрица R была неотрицательно определенной и симметрической. Ранг матрицы R равен размерности подпространства, в котором можно сосредоточить распределение вектора

Доказательство, а) Необходимость. Пусть характеристическая функция ф(«) некоторого случайного вектора задается формулой (1). Дифференцируя ее по Uj и затем по uh и полагая и — 0, видим, что распределение обладает конечными моментами и

Из этих формул следует, что матрица R вещественна, симметрична и неотрицательно определена:

Если ранг матрицы R равен г(^ п), то с помощью надлежащей

роятностью 1. Эти соотношения показывают, что с вероятностыа 1 между компонентами вектора | существуют п — г линейна

(2)

d2qp

ЩЦк = — nijtHk — rjk.

(3)

п

замены переменных Ы/ = ? <*tkvk ее можно привести к главным

ОСЯМ!

{Ru, и) = t = М [ ? t (I, - «,)<*/*»*] •

П
24 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. Г

независимых соотношений и, следовательно, его распределение сосредоточено в r-мерной гиперплоскости, задаваемой уравнениями

п

X (*/ — mj) ajk = 0, k = r+\,...,n.

б) Достаточность. Предположим сначала, что R — положительно определенная симметрическая матрица. Функция

¦ф(и)=ехр|/(/п, и)— -^(Ru, и)| абсолютно интегрируема и дифференцируема. Следовательно, к ней применима интегральная формула Фурье:

оо оо

¦ф(ы) = ^ f{x)ei^dxl ... dxn,

— оо —оо

(5)

S ••• S ^>(u)e-^u'x)duI ... dun.

— 03 —oo

Интегралы в правых частях написанных формул являются л-мерными.

Пусть С — ортогональная матрица, приводящая R к диагональному виду, так что C*RC — D, где D={’Ki6ih)t i, k =*. = 1, ..., л; %i > О, С* — матрица, сопряженная с С. Так .как С вещественна и ортогональна, С* совпадает с транспонированной и с матрицей, обратной к С, С* = С' = С-1. Перейдем от переменных интегрирования uh к переменным vh с помощью соотношений и — Cv или v = С*и, где v = (иь у2, • • •, vn). Так как при ортогональном преобразовании элемент объема не меняется, то

оо ОО

^М="(2^)7г \ ••• $ ехр[ — i(x — т, Cv) — ~(RCv,Cv)}dVi... dva.

— оо —оо

Имеем

(ЯСо, Cv) = (С*/?Си, у) = t Kkv\,

k=*\

(.x — tn, Cv) — (C* {x — m), o) — ?

!

где x\ — k-я компонента вектора x* = C*(x — m). Таким
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 25

образом,

/м=

г г ( п "1
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed