Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно большом, N^N0{e), имеем Pi max 11 (0,) | > 4rj<4-
I1</<п 1) г
я Р{1|(Э)1>Л0<е. а
Определение. Случайную функцию ?(0) называют равномерно стохастически непрерывной на 0, если для произвольного е > 0 можно найти такое б > 0, что
Р{16(в)-6(0')1>е}<е
для всех 0 и 0', для которых г (0, 0') < 6.
Теорема 2. Если 0 — компакт, случайная функция |(0) стохастически непрерывна на 0, то ?(0) равномерно стохастически непрерывна на 0.
Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы такое е>0 и для любого п пара точек &п, в'п, для которых r(Qn, 9^) <
<-|j- и P{|g(0rt) —> е|^е. Из компактности 0 следует,
что можно выбрать подпоследовательность индексов пь так, чтобы 0П^ и 0' сходились к некоторому пределу 0о. Тогда
«<р{|Н9»,)-ЧеУ1>')<р{|Ч%)-Нв.)|>т} + + p{W-He-,)l>i}-
В силу стохастической непрерывности ?(0) правая часть по* следнего неравенства -vO при k -> 0. Мы пришли к противоречию, и тем самым теорема доказана.
§ 2. Гауссовы случайные функции
Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Приведем прежде всего определение и основные свойства многомерного гауссова распределения.
Определение. Случайный вектор ?=(|ь |2, ..., |„) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде
(1)
где m = (mu m2) ..., mn), и = (м1( и2, ..., м„)— векторы, R — неотрицательно определенная вещественная симметрическая матрица, R = (Гщ), К k = 1, 2, ..., п. Здесь (а, (5) обозначает
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
23
скалярное произведение векторов аир, так что
П
П
{m, и) = Ц mkuk, {Ru, и) = ? rjkUjUk.
Следующая теорема служит формальным оправданием данного определения.
Теорема 1. Для того чтобы функция
была характеристической функцией распределения некоторого п-мерного случайного вектора необходимо и достаточно, чтобы вещественная матрица R была неотрицательно определенной и симметрической. Ранг матрицы R равен размерности подпространства, в котором можно сосредоточить распределение вектора
Доказательство, а) Необходимость. Пусть характеристическая функция ф(«) некоторого случайного вектора задается формулой (1). Дифференцируя ее по Uj и затем по uh и полагая и — 0, видим, что распределение обладает конечными моментами и
Из этих формул следует, что матрица R вещественна, симметрична и неотрицательно определена:
Если ранг матрицы R равен г(^ п), то с помощью надлежащей
роятностью 1. Эти соотношения показывают, что с вероятностыа 1 между компонентами вектора | существуют п — г линейна
(2)
d2qp
ЩЦк = — nijtHk — rjk.
(3)
п
замены переменных Ы/ = ? <*tkvk ее можно привести к главным
ОСЯМ!
{Ru, и) = t = М [ ? t (I, - «,)<*/*»*] •
П
24 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. Г
независимых соотношений и, следовательно, его распределение сосредоточено в r-мерной гиперплоскости, задаваемой уравнениями
п
X (*/ — mj) ajk = 0, k = r+\,...,n.
б) Достаточность. Предположим сначала, что R — положительно определенная симметрическая матрица. Функция
¦ф(и)=ехр|/(/п, и)— -^(Ru, и)| абсолютно интегрируема и дифференцируема. Следовательно, к ней применима интегральная формула Фурье:
оо оо
¦ф(ы) = ^ f{x)ei^dxl ... dxn,
— оо —оо
(5)
S ••• S ^>(u)e-^u'x)duI ... dun.
— 03 —oo
Интегралы в правых частях написанных формул являются л-мерными.
Пусть С — ортогональная матрица, приводящая R к диагональному виду, так что C*RC — D, где D={’Ki6ih)t i, k =*. = 1, ..., л; %i > О, С* — матрица, сопряженная с С. Так .как С вещественна и ортогональна, С* совпадает с транспонированной и с матрицей, обратной к С, С* = С' = С-1. Перейдем от переменных интегрирования uh к переменным vh с помощью соотношений и — Cv или v = С*и, где v = (иь у2, • • •, vn). Так как при ортогональном преобразовании элемент объема не меняется, то
оо ОО
^М="(2^)7г \ ••• $ ехр[ — i(x — т, Cv) — ~(RCv,Cv)}dVi... dva.
— оо —оо
Имеем
(ЯСо, Cv) = (С*/?Си, у) = t Kkv\,
k=*\
(.x — tn, Cv) — (C* {x — m), o) — ?
!
где x\ — k-я компонента вектора x* = C*(x — m). Таким
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 25
образом,
/м=
г г ( п "1