Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что для любой неслучайной матрицы А и векторов
I и ц
М 04?, г]) = Sp АК,
где К — матрица с элементами ktj = М§гт^, Sp В — след матрицы B,SpB = Yjbjj. При этом, 5рЛВ = 5рВЛ для любых /
матриц А и В. Возвращаясь к поставленной задаче, положим
I = гп\ + R12R221 (11—т2). (8)
Легко проверить, что для любой матрицы А
М (Л (I — I), л — т2) = 0.
(9)
28 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. t
Действительно,
М {A (g — |), г) — /Лг) — Sp AR12 — Sp AR\2Ri2lR22 — 0.
Равенство (9) означает, что любая компонента вектора g— g некоррелирована с любой компонентой вектора г)—m2 и, следовательно, эти векторы независимы. Таким образом,
g==? + g = ? + /?Z] + R\2R2r>1 (л — m2), (10)
где g и | — гауссовы случайные векторы, ? не зависит от г). При этом
М? = — /щ ==0,
мк* = м(| — I) (g—ir—
= М {(I — mi) (g — mi)* — (g — mi) (^ — m2)* R^lR*i2 —
— R12R22 (n — m2)(g — mi)* + R12R22 (Л — m2)(^ — m2)*
или, так как R\2 == /?21 = М (rj — m2) (g — m,)* и матрица R22 симметрична,
MZ,C = Rn-Ri2RvR2i.
Из формулы (10) вытекает, что условное распределение вектора g при заданном векторе г) является гауссовым с условным средним
M{i|Ti}=i = mi + /?i2/?2'2I('n —>и2) (11)
и условной корреляционной матрицей
м {(| -g) (g - IT | г\) = Rn ~ Ri2R22lR21. (12)
Отметим следующее важное обстоятельство: матрица условных корреляций вектора g при заданном г) неслучайна и, в частности, не зависит от значения вектора т).
Следующее утверждение очевидно, но его полезно иметь в виду.
Теорема 4. Пусть g(®) (а = 1, 2, ..., г, ...)—последовательность п-мерных векторов, имеющих гауссовы распределения с параметрами (mW, #(“)). Последовательность распределений векторов |(“) (а = 1, 2г) слабо сходится (сходится в основном) к некоторому предельному распределению тогда и только тогда, когда
m{a) -> т, RW->R. (13)
В этом случае предельное распределение также является гауссовым с параметрами (m, R) .
§2]
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
29
Перейдем теперь к случайным функциям. Векторная s-мер-ная случайная функция ?(0) — (?i (9), •••, ?г(0)} называется гауссовой, если совместное распределение всех компонент случайных векторов
6(0,), ?(02), .... ?(0„) (14)
является гауссовым.
Корреляционная матрица R совместного распределения последовательности случайных векторов (14) имеет размер sti X sn и может быть разбита на квадратные блоки размера s X s следующим образом:
/Я (0,-01) /?(01, 0а) ... /?(01. 0П)\
^ = | ^(0^ 0,) ж0*-0г) ••• ^(02. е«)
\Л(0„. 0,) Д(0„, 02) ... Я(вп',впУ
где R(Qj, 0г)—корреляционная матрица функции ?(0). Матрица R вещественная и неотрицательно определенная.
Очевидно и обратное предложение. А именно, каковы бы ни были вещественные вектор-функция т(В) и неотрицательно определенная матричная функция #(0ь 02), 0, е © (i = 1, 2), существует r-мерная гауссова случайная функция (в широком смысле), для которой т(0) есть вектор математического ожидания, a R (б,, 62) — корреляционная матрица.
Моменты гауссовой случайной функции могут быть получены из разложения характеристической функции. Ограничиваясь случаем центральных моментов, положим т(0)= 0. Тогда
, ч —~(Ra,u)
фе,...в3 (Щ, ..., Us) = е 2 =
- 1-у(Яи, «) + ~г(Я«, uf- ... +(_1)»^(Ru, иТ+ ...
Отсюда для произвольной моментной функции нечетного порядка получим
S
rn/]..fs (0,, • • •, 0S) = о, если Yt jk — 2п + 1.
Для центральных моментных функций четного порядка
1 т-1
....U flJs ’ 2'Vil ^u> ’ ^jik=2n. (15)
••• ats к-1
30
СЛУЧАЙНЫЕ процессы в ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
ГГЛ. I
Например, для моментных функций четвертого порядка имеем следующие формулы:
т4 (6) = 3R2 (6, 6), т31 (0j, 02) = 3R (0„ 0.) R (0„ 02),
tn211 (01, 02, 0з) = ^(0Ь ®l)R(®2> 63) + 2/?(01; в2) (0J, 0з),
«1111 (01, 02, 03. 04) —
= Я(0„ ©2) R (0з, 04) + /? (01, 03) R (02 , 04) + Я (01, 04) я (02, 03). В общем случае имеет место соотношение
mh....j$ (0i, ..., 0Л=ЕШ(0р, 0«), (16)
структура которого может быть описана следующим образом. Записываем точки 0ь . . . , 0S в последовательность, причем 0^ пишем подряд ]\ раз. Написанную последовательность разбиваем на произвольные пары. Тогда произведение в правой части формулы (16) берется по всем парам этого разбиения, а сумма берется по всем разбиениям (пары, отличающиеся перестановкой элементов, считаются за одну). Это утверждение непосредственно вытекает из формулы (15).
