Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
\ ••• ) ехр]••• rfo»e
—00 —00 ^ fe=l fe—1 '
п °°
“= Пi 5ехр{~~ т V!}^=
= l —00
- п чщ г'*/и‘ - <2">"1 (II *•)'* “)-
П
Далее, гз> & —А, где А— определитель матрицы Я, ft-i
(Z)~’x*, ж') = (D_1C* (ж - m), С* (ж - т)) =
= (CZ)-1C* (ж — т), (ж — т)) = ((CDC*)-1 (ж — т), (ж — т)) =
= (R~l (ж — т), (х — т))» где Я-1 — матрица, обратная к R. Окончательно получаем
1 w “ ТШр?ехр {- т ('г“ - га>)} -
' exp|-l V Дыix> ~т'}{ч (6)
I /, *=1
где Afe;- — алгебраические дополнения элементов матрицы R. Из
оо
(6) следует /(ж)> 0, а из (5) ^ f (x)dx = -ф (0) = 1. Таким об-
— оо
разом, функцию /(ж) можно рассматривать как /г-мерную плотность распределения, а гр(и) является ее характеристической функцией.
Переходя к общему случаю, предположим, что матрица R имеет ранг г (г <; п) и С — ортогональное преобразование, приводящее ее к диагональному виду, C*RC — Dr, где Dr — диагональная матрица, диагональные элементы которой Хь = 0 при k — г 1, ...,/ги Ха>0 при k — 1, 2, г. Пусть X® — X/ при / = 1,2, ..., г; Я® = е при j = г + 1, ..., п. Тогда Re = = CDeC* — положительно определенная матрица (De — матрица с элементами А/6д) и
Фе
(и) = ехр | г (т, и) — j (Reu, и) }
26 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. Г
является характеристической функцией некоторого распределения. При е—>-0 функция <ре(и) равномерно стремится к ср(и), и поэтому ф(и) также будет характеристической функцией некоторого распределения. Как было выяснено ранее, это распределение сосредоточено в /•-мерной гиперплоскости и поэтому не имеет плотности. Такое распределение называют несобственным гауссовым распределением. |1
Следствие 1. В выражении (1) для характеристической функции гауссова распределения m = (mu m2, ..., mn) есть вектор математического ожидания, a R — корреляционная матрица:
m = Mg, ——тк)].
Это следствие непосредственно вытекает из формул (2) и
(3).
Следствие 2. Если корреляционная матрица R гауссова случайного вектора ? невырождена, то существует п-мерная плотность распределения f(x), определяемая формулой (6).
Следствие 3. Совместное распределение любой группы компонент гауссова случайного вектора является гауссовым.
Теорема 2. Если случайный вектор g = (gb g2................In).
имеет гауссово распределение, случайные векторы ?' = (?ь ... .... gr), s// = (sr+b In) (г < п) некоррелированы, то векторы ?' и ?" независимы.
Доказательство. Из некоррелированности g' и g" вытекает,
что
М|(?/ MgjMgy — 0, i— 1, ..г, i = r + 1................п.
Поэтому
q> (и) — ехр | i (пг', и') + i (m", и") —
1 Г 1 п )
2 ^ 1 ^fk^l^k 2 ^ 1 ГfkU-fU-k г *
i, k=i !,k=r+1 J
где
m' = (mum2, mr), m" = (mr+u ..., mn),
U {П[, U*i, . . . , Ur), U (ur4-i? . , ., Un)»
Предыдущую формулу можно переписать в виде
Ф (и) = Me1 <“'• б')+< («". ?") = 5') Me'(u"’ ^ = ф' (и') ф" (и"),
где ф'(и') и у”(и") являются характеристическими функциями векторов g', Это соотношение доказывает независимость %' и I".
ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
27
Пусть А = I! ajh II (/ = 1, ..., h, k = 1, ..., п)— произвольная прямоугольная матрица и ri = Л?, т. е.
П
Т) —Oil, Т1А), Г]}= ^ a,klk, j=l,...,h.
k=* I
Вектор ri является линейным преобразованием вектора ?.
Теорема 3. При линейном преобразовании случайных векторов гауссовы распределения переходят в гауссовы.
Доказательство. Пусть ср^ь tn) обозначает характеристическую функцию вектора г). Тогда
(«,, • • •, Ч) = М ехр | i ? u/t\, J = М ехр | i J] ( Е «/«/s) h J =
— ехр {/(гг, Am) — — {ARA'u, ы)|, (7)
т. е. т| имеет гауссово распределение с математическим ожиданием Ат и с дисперсионной матрицей — ARA'. ¦
Приведем еще некоторые часто используемые формулы для гауссовых распределений.
Пусть 1—(Ъ, ..., |п), Т1=(г|ь ..., rin) —два случайных вектора, имеющих совместное гауссово распределение. Найдем условное распределение вектора ? при заданном векторе г). Не умаляя общности, можно считать, что корреляционная матрица R22 вектора т] невырождена. Действительно, если бы матрица R22 вырождалась, то это бы означало, что некоторые компоненты вектора т] являются линейными комбинациями других, и их можно было бы исключить, понизив размерность вектора rj.
Пусть т\ — М?, m2 = Mtj, Ru — корреляционная матрица вектора ?, Ru — взаимная корреляционная матрица векторов ? и г):
tfi2 = M(|-- mOOi — та)*.
