Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
tei iSeX
Таким образом,
k<=X
В частности,
¦dPilgt' - = Yj Pi* Q аЫ W. * > S- (19>
fteJT
В случае конечного числа состояний уравнения (17) или (19) представляют собою систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, имеющих при весьма широких
54
случайные процессы в широком смысле
[ГЛ. г
предположениях о функции ahj(s) единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям pkj(s, s) = 8kj. Таким образом, в этом случае каждая из систем уравнений Колмогорова однозначно определяет вероятности перехода.
Скачкообразные процессы в широком смысле. Можно ожидать, что в достаточно регулярных случаях марковский процесс со счетным числом состояний является моделью процесса следующего рода: в течение некоторого случайного промежутка времени движущаяся точка находится в начальном состоянии, после чего с определенными вероятностями переходит в новое состояние, где она проводит случайный промежуток времени, после которого переходит в другое состояние, и т. д. Подобного рода процессы можно рассматривать и в произвольном фазовом пространстве. Их называют скачкообразными марковскими процессами.
Рассмотрим марковский процесс а широком смысле в фазовом пространстве {X, 9} с вероятностью перехода P(s, х, t, В), s <.t, (s, t) е / X I. Будем считать, что ст-алгебра S3 содержит одноточечные подмножества X.
Определение. Марковский процесс в широком смысле называется скачкообразным, если для произвольных (s, х, В) а е / X X X S3 существует предел
Пт == й (s, х, В) (20)
t + s I — s
и при фиксированных (s,x) a(s, х, В) являются конечным зарядом на 9.
Скачкообразный марковский процесс в широком смысле будем называть регулярным, если сходимость в формуле (20)' равномерна по (s, х, В)е[0, 0X^X9 и функция a(s, х, В) при фиксированных (х. В) непрерывна по se [0, t] равномерно относительно (х, В), где t — любое число из I.
Отметим, что функция a(s,x,B) обладает следующими свойствами:
a (s, х, X) = 0,
a(s, х, B) = lim ^0, если хШВ,
t + s {~s
a (s, х, {x}) = — a (s, х, Х\ {*}) = lim ~ 1 ^ о,
tlfS
где {лг} — множество, состоящее из одной точки х. Эти соотношения можно объединить в одной формуле, положив
a(s, х, В) = —-a{s, х)%{В, x) + a(s, х, В),
где
a{s, х) = — a (s, х, {*}), a (s, х, В) = а (s, х, В \ {х}),
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 55
причем a(s, х, В) является конечной мерой на 9 и a(s,x, {х}) = 0.
Для регулярного скачкообразного процесса то обстоятельство, что a(s, х, В) является конечным зарядом на 9, вытекает из требования равномерной сходимости в соотношении (20).
Действительно, из определения функции a(s, х, В) непосредственно следует, что она является неотрицательной аддитивной функцией множеств на 9. Пусть теперь Вп с Вп+и Вп е 9,
оо
g = U Вп и х Ш 5. Тогда
л-1
/ г)\ I- Р (s, х, t, В) Р (s, х, t, В)
a(s, х, В) = lim ; jzrr- = lim lim '-± ’ ; =
i^S to ^-»oo I *
= lim lim p (s> Bn) _ j.m ^
rt -> со t^s S n-+oo
причем изменение порядка предельного перехода возможна в силу предполагаемой равномерной сходимости относительно й е9 в соотношении (20). Таким образом, счетная аддитивность функции a(s, х, В) доказана.
Отметим еще следующее свойство регулярного скачкообразного процесса: для каждого t е / найдется такая постоянная К, что
| a (s, х, В) К К для всех (s, х, В) <= [0, t\ X X X
В оставшейся части настоящего пункта рассматриваются только регулярные скачкообразные процессы в широком смысле. Положим
(а х> В) /j \ ^ п
--л—т— при a (t, х) > 0,
a(t,x) * >
( %(В, х) при a(t, х) = 0.
При фиксированных (t, х) П(^, х, В) является вероятностной мерой на 9. Легко указать для нее теоретико-вероятностную интерпретацию. Из (20) следует
Р (t, х, t -f- ts.t, {х}) == 1 — (а (t, х) + е) At,
где е —> 0 при —> 0. Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости a(t, x)At есть вероятность того, что движущаяся точка, находящаяся в момент времени t в состоянии х, в момент времени t + At уже не будет
в нем. Далее, при a(t, х) ф 0
П (/ х В) = lim - М)
1 ’ ’ } д™0 р (*• * + At> х \ М) ’
так что П(/, х, В) можно рассматривать как условную вероятность системе, находящейся в момент времени t в состоянии х
