Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 21

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 214 >> Следующая


tei iSeX

Таким образом,

k<=X

В частности,

¦dPilgt' - = Yj Pi* Q аЫ W. * > S- (19>

fteJT

В случае конечного числа состояний уравнения (17) или (19) представляют собою систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, имеющих при весьма широких
54

случайные процессы в широком смысле

[ГЛ. г

предположениях о функции ahj(s) единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям pkj(s, s) = 8kj. Таким образом, в этом случае каждая из систем уравнений Колмогорова однозначно определяет вероятности перехода.

Скачкообразные процессы в широком смысле. Можно ожидать, что в достаточно регулярных случаях марковский процесс со счетным числом состояний является моделью процесса следующего рода: в течение некоторого случайного промежутка времени движущаяся точка находится в начальном состоянии, после чего с определенными вероятностями переходит в новое состояние, где она проводит случайный промежуток времени, после которого переходит в другое состояние, и т. д. Подобного рода процессы можно рассматривать и в произвольном фазовом пространстве. Их называют скачкообразными марковскими процессами.

Рассмотрим марковский процесс а широком смысле в фазовом пространстве {X, 9} с вероятностью перехода P(s, х, t, В), s <.t, (s, t) е / X I. Будем считать, что ст-алгебра S3 содержит одноточечные подмножества X.

Определение. Марковский процесс в широком смысле называется скачкообразным, если для произвольных (s, х, В) а е / X X X S3 существует предел

Пт == й (s, х, В) (20)

t + s I — s

и при фиксированных (s,x) a(s, х, В) являются конечным зарядом на 9.

Скачкообразный марковский процесс в широком смысле будем называть регулярным, если сходимость в формуле (20)' равномерна по (s, х, В)е[0, 0X^X9 и функция a(s, х, В) при фиксированных (х. В) непрерывна по se [0, t] равномерно относительно (х, В), где t — любое число из I.

Отметим, что функция a(s,x,B) обладает следующими свойствами:

a (s, х, X) = 0,

a(s, х, B) = lim ^0, если хШВ,

t + s {~s

a (s, х, {x}) = — a (s, х, Х\ {*}) = lim ~ 1 ^ о,

tlfS

где {лг} — множество, состоящее из одной точки х. Эти соотношения можно объединить в одной формуле, положив

a(s, х, В) = —-a{s, х)%{В, x) + a(s, х, В),

где

a{s, х) = — a (s, х, {*}), a (s, х, В) = а (s, х, В \ {х}),
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 55

причем a(s, х, В) является конечной мерой на 9 и a(s,x, {х}) = 0.

Для регулярного скачкообразного процесса то обстоятельство, что a(s, х, В) является конечным зарядом на 9, вытекает из требования равномерной сходимости в соотношении (20).

Действительно, из определения функции a(s, х, В) непосредственно следует, что она является неотрицательной аддитивной функцией множеств на 9. Пусть теперь Вп с Вп+и Вп е 9,

оо

g = U Вп и х Ш 5. Тогда

л-1

/ г)\ I- Р (s, х, t, В) Р (s, х, t, В)

a(s, х, В) = lim ; jzrr- = lim lim '-± ’ ; =

i^S to ^-»oo I *

= lim lim p (s> Bn) _ j.m ^

rt -> со t^s S n-+oo

причем изменение порядка предельного перехода возможна в силу предполагаемой равномерной сходимости относительно й е9 в соотношении (20). Таким образом, счетная аддитивность функции a(s, х, В) доказана.

Отметим еще следующее свойство регулярного скачкообразного процесса: для каждого t е / найдется такая постоянная К, что

| a (s, х, В) К К для всех (s, х, В) <= [0, t\ X X X

В оставшейся части настоящего пункта рассматриваются только регулярные скачкообразные процессы в широком смысле. Положим

(а х> В) /j \ ^ п

--л—т— при a (t, х) > 0,

a(t,x) * >

( %(В, х) при a(t, х) = 0.

При фиксированных (t, х) П(^, х, В) является вероятностной мерой на 9. Легко указать для нее теоретико-вероятностную интерпретацию. Из (20) следует

Р (t, х, t -f- ts.t, {х}) == 1 — (а (t, х) + е) At,

где е —> 0 при —> 0. Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости a(t, x)At есть вероятность того, что движущаяся точка, находящаяся в момент времени t в состоянии х, в момент времени t + At уже не будет

в нем. Далее, при a(t, х) ф 0

П (/ х В) = lim - М)

1 ’ ’ } д™0 р (*• * + At> х \ М) ’

так что П(/, х, В) можно рассматривать как условную вероятность системе, находящейся в момент времени t в состоянии х
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed