Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Вторым трактатом также открыт гидродинамике новый класс проблем, и с ним также связана обширная литература. В нем впервые исследуются условия образования струй внутри жидкостей.
Гельмгольц нашел, что для этого явления характерно образование поверхностей разрыва. Возможность таких поверхностей, вдоль которых тангенциальная слагающая скорости изменяется прерывно, доказана в первом из наших трактатов при рассмотрении вихревых поверхностей, и в этом отношении обе работы тесно связаны между собой. Но здесь он отвлекается от существования вихрей и сосредотачивает внимание только на прерывности движения. Разумеется, не все задачи, выступающие при движениях такого рода, удается разрешить; наоборот, приходится ограничиваться тем, чтобы представить возможные движения аналитически, а затем исследовать, каким конкретным случаям соответствуют найденные решения13. Далее и это аналитическое представление движений возможно лишь при известных допущениях. Приходится вводить предположение, что не действуют никакие внешние силы, что движение принадлежит к потенциальным движениям
13Прим. ред. В настоящее время это утверждение не точно: мы имеем работу проф. Н. Е. Жуковского «Видоизменения метода Кирхгофа и т.д.», напечатанную в XV т. Мат. Сборн., 1890; автор указывает путь решения всех тех задач, в которых поток жидкости, всюду движущийся параллельно плоскости, прегражден плоскими стенками. Следует отметить также статью Н. В. Берви в Трудах Физ. Отд. О. П. Е. (т. X.), где разрешаются некоторые вопросы о струях в тяжелой жидкости.
56
Приложения
и стационарно и, наконец, что оно зависит лишь от двух координат. С математической точки зрения интересна связь между относящимися сюда проблемами и теорией конформного изображения.
Только что указанные ограничения были сохранены и теми авторами, которые вслед за Гельмгольцем разрабатывали дальше проблемы образования струй. Из них назовем: Kirchhoff’a (Crells’s Journal f. Mathem. 70, 1869); лорда Rayleigh’a (Phil. Mag. [5] 2, 1876), показавшего, как из результатов Kirchhoff’a получается contractio venae, Planck’a (Wiedemann Ann. [2] XXI, 1884); W. Voigt’a (Gotting. Nachr., 1885 und Mathem. Annal. 28 и также Gotting. Nachr., 1892); наконец, следует еще упомянуть работу Weingarten’a (Gotting. Nachr., 1890), в которой опущено ограничение, что движение зависит только от двух координат.
Примечания и объяснения к тексту
1. Вихревые движения
1) к стр. 7. Понятие потенциала скоростей, как это указано в тексте, встречается уже у Лагранжа; новое название вводится здесь Гельмгольцем по аналогии с введенным Гауссом названием «потенциала»; под текстом цитируется второе издание Mecanique analytique Lagrang’a, первое вышло в 1788 г. Название указанной работы Эйлера — Principes generaux du mouvement des fluides.
2) к стр. 7. Со времени появления этого трактата по вопросу
о влиянии трения на движение жидкостей сделано довольно большое число подробных опытных и теоретических исследований, именно Гельмгольцем и Пиотровским (Vien. Sitzungsber. 40. 1860); Стефаном (Vien. Sitzungsber. 46. 1862), Мейером (Crelle’s Journal, Bd. 59, 73, 75, Poggendorff’s Annalen, 113, 143), Максвеллом (Philosoph. Transact., 1866); Буссинеском (Lionville I. 1868) и другими. Заметим еще, что общие уравнения движения вязкой (т. е. подверженной трению) жидкости были даны уже Навье (Mem. d’Acad. de Paris, 6, 1823), Пуассоном (Journ. d’Ecol. Polyt., Cahier 20. 1831) и Стоксом (Combr. Phil. Trans. VIII. 1844), и что последний уже применил эти уравнения к движению сферического маятника в воздухе (Comb. Frans. IX. 1851).
3) к стр. 10. Положенные здесь в основание уравнения, вывод которых можно найти во всех учебниках механики, суть так называемые уравнения Эйлера. Они определяют скорость и давление жидкости, как функции места и времени. Вторая форма, которую можно дать уравнениям гидродинамики, служит для выражения координат определенной частицы жидкости, как функции ее начального положения и времени. Эта вторая форма, которую называют формой уравнений Лагранжа, также принадлежит Эйлеру (Nov. Comment. Acad. Petropol. 14, 1769; по ошибке эту работу всегда относят к 1759 году вследствие опечатки на заглавии соответствующего тома. Том 14 принадлежит 1769 году и появился 1770 г.).
58
Примечания и объяснения к тексту
Теорию вихревых движений можно вывести и из уравнений Лагранжа; это показал Ганкель, разрешив задачу на соискание премии, поставленную философским факультетом Геттингенского университета (Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Fltissigkeiten, Gottingen 1861).
4) к стр. 11. Цитируемые здесь работы Гаусса и Грина имеются в издании Ostwald’s Klassiker (№№2 и 61).
Теорема Грина, на которую здесь делается ссылка, находится на стр. 24 (resp. примеч. стр. 121) в №61 Ostwald’s Klass. Гельмгольц здесь первый обратил внимание на то обстоятельство, что потенциал скоростей ф в многосвязных пространствах может сделаться многозначным, и что для таких многозначных функций теорема Грина не имеет места (ср. стр. 21 и 22 текста, также примеч. 17). Как расширить эту теорему, если речь идет о многозначных функциях, было показано Томсоном (лорд Кельвин) (On vortex, motion. Edinb. Trans. 25. 1869).
