Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
(а) с*1: (3\: 71 = + (iai — u)dt\ er] + (^i — y)dt\ + (wi — w)dt.
Вставляя значение iai — и и т. д. и пользуясь уравнениями (3) на стр. 16, эти пропорции можно написать также в следующем виде:
1. Вихревые движения
61
С другой стороны, во время dt изменилось и направление оси вращения первой частицы, так как компоненты скорости вращения, имевшие для времени t значения ?, 77, ?, для времени t + dt обратились
в ? + ^ ^ eft ^ ^сли П0ЭТ0МУ косинусы углов направле-
ния оси вращения для времени t + dt суть cJ, /3', 7', то:
(с) =
Из уравнений (6) и (с) следует:
?*1= ft: 7i =а'\(3'\ 7',
т. е. линия, соединяющая рассматриваемые частицы, совпадавшая для времени t с направлением оси вращения первой из них, и для времени t + dt совпадает с направлением уже изменившейся оси вращения; а если это справедливо в момент t dt, то, повторяя то же рассуждение, мы убедимся, что оно должно быть справедливо и по истечении любого промежутка времени.
12) к стр. 18. Что объем части жидкости, состоящей всегда из одних и тех же частиц, постоянен, следует из несжимаемости.
Заметим здесь, что выведенные в §2 положения относительно постоянства вихревого движения не имеют места для жидкостей, подверженных трению.
13) к стр. 19. Прием замены интеграции по двум координатам интеграцией по поверхности S употреблен впервые Гауссом (сравн. №19 Ostwald’s Klassiker, стр. 53). Там показано также, как провести строгое доказательство для любой формы поверхности S.
Угол $ (см. стр. 19) есть угол между осью вращения и нормалью.
14) к стр. 21. Здесь применяется так называемое уравнение Пуассона, по которому сумма вторых частных производных потенциала для точек притягивающей массы равна плотности, умноженной на —47т (ср. №2 Ostwald’s Klassiker стр. 17).
15) к стр. 23. В оригинале ошибочно напечатано: «и назовем элемент поверхности S опять duo». Уравнение (2а) стр. 23 есть то же, что приведено уже на стр. 20, только с измененными обозначениями.
16) к стр. 24. Приведенный закон о действии элемента тока на магнитную стрелку есть закон Био-Савара.
62 Примечания и объяснения к тексту
Заметим еще, что для получения выражений для Аи, А г;, Aw (стр. 23) в уравнениях (4) Р следует положить равным нулю.
17) к стр. 25. Если ds — какой-нибудь элемент дуги, то ^ есть
компонент скорости по направлению ds. Если ds лежит в направлении дф
течения, то — представляет всю скорость и имеет положительное зна-os
^ дф , чение. Если же — положительно, то ф возрастает с возрастанием s,
т. е. в направлении течения ф постоянно увеличивается, и если течение замкнуто в себе, то после прохождения течения ф в исходной точке должно получить иное значение, чем прежде. Поэтому ф бесконечно многозначно, подобно циклометрическим функциям.
18) к стр. 27. Так как вращающиеся частицы имеются только на рассматриваемой поверхности, то и все вихревые линии лежат на поверхности, и потому ось вращения каждой частицы должна касаться поверхности; что вихревые линии нигде не могут выступить с поверхности, вытекает из того, что §2 вихревая нить никогда не может кончаться внутри жидкости. Относительно примененного здесь характерного свойства потенциала поверхности сравн. №2 Ostwald’s Klassiker, §§12-18.
19) к стр. 28. Это следует из того, что потенциал притягивающей
линии на бесконечно малом расстоянии t от линии становится бесконечным, как 2plog , где р — плотность и lim = ~%р для t = 0.
О ТС
20) к стр. 29. Первая часть выражения а именно:
а)
III (“&+v%+^)<bd«d*'
по интеграции по частям и замене dy dz = — dcucosa и т.д. (отрицательный знак входит потому, что а есть угол наклонения нормали, направленной внутрь, с осью х) переходить в:
II -III
Р(и cos а + v cos /3 + w cos 7)dcu—
1. Вихревые движения
63
Последний интеграл согласно четвертому уравнению (1) дает 0; далее
Совершенно так же получается приводимая дальше общая форму-
9 fC
ла, в которой только вместо Р стоит гр. Следующая часть а именно:
В уравнении (66) в оригинале по ошибке стоит U (вместо V). Относительно обращения в нуль нормальной слагающей скорости q cos $ на поверхности (сравн. примеч. 6).
21) к стр. 30. Что массы, соответствующие потенциальным функциям L, М, N, в общем дают нуль, выясняется так: так как имеются только отдельные вихревые нити, которые не простираются до стенок, то они должны, замыкаясь, образовать бесконечно тонкие кольца. Если к есть поперечное сечение такого кольца, а — скорость вращения, ds — элемент дуги средней линии, а — угол, образуемый ds с осью х, то, помня, что ось вращения есть касательная к средней линии, мы имеем:
и cos а + v cos /3 + w cos 7 = q cos $.
Интеграл а) принимает вид:
