Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
дх 1 — ус2 v2
Таким образом, выражение для т\ (стр. 35) содержит в знаменателе квадрат бесконечно малой v, в числителе же первую степень от г — с, которое одного порядка с v.
Направление движения жидких частиц по обе стороны кольца определяется проще всего из следующих соображений. В том месте кольца, где е = 90°, ? = —сг, г] = 0, ( = 0. Находящаяся вблизи частица (сравн. стр. 13) вследствие вращения имеет следующие слагающие скорости: 0, — (z — з)сг, + (у — t))<т. Для частицы, лежащей в плоскости кольца вне его z = $, у > t); следовательно, движение такой частицы направлено к положительной оси г; между тем, для точек внутри кольца (z = 3, у < t)) и направление движения будет противоположным.
Можно тот же результат вывести и из формул для w, полагая в них z = с.
35) к стр. 40. Указанный здесь результат можно обосновать следующим образом. Движение отдельного вихревого кольца, как оно выведено в предшествующем изложении, изменяется благодаря присутствию второго кольца, и соответственное изменение можно вычислить.
Пусть обозначения ш, р, z, т = w = относятся к одному коль-
dpi dzi
цу, mi, Ръ гЪ П = Wl = ~dt ~ К друшму’ ПУСТЬ ш и Ш1 по-
ложительны иг > 2i, тогда каждое кольцо без наличности другого двигалось бы в сторону отрицательных г, и кольцо mi двигалось бы впереди. Но согласно уравнению (8) стр. 36
dp dpi mfgi+m^ эГ=°-
Поэтому одна из величин должна быть положительна, другая
отрицательна, т. е. радиус одного кольца должен увеличиваться, радиус другого уменьшаться. Какой из радиусов увеличивается, можно обнаружить из уравнения для т\ (стр. 35), которое при наших обозначениях
2. Прерывные движения жидкости
73
напишется так:
dp mi ---- dU z Z\
-Р-й = ^гу/т*-
dt ж v дх (р +Pl)2+ (z - zi)2‘
Но z > zi, далее:
2
ди Г (2sin2??- l)M
а я- = х
ок
Z
г / ,----------------------------.
о у (1 — х2 sin2 $)3
так же, как и сама величина U всегда положительны; поэтому будет отрицательным, т. е. кольцо, следующее позади, суживается, идущее же впереди расширяется. Затем из формулы для w (стр. 36) следует:
dz lmi 1Ш1 dU (z-zi)2 + Pi -Р2
dt 2 п у р3 2 п у р3 дх (р + + (г — zi)2
Значение для — мы получаем отсюда, заменяя р через pi, а С/ и оставляя без изменения. Так как р\ увеличивается, а р умень-
шается, то mi и р2 — р2 — будут увеличиваться, а т / -^ и р2 — р2
V Р \ Pi
уменьшаться. Так как U и положительны, то будет все уве-
<9zi тт dz dzi
личиваться, а —— все уменьшаться. Но ——и —— суть изменения, которые испытывают первоначальные движения каждого кольца в направлении отрицательных г в зависимости от присутствия другого кольца. Таким образом кольцо, следующее позади, суживаясь, будет перемещаться быстрее; идущее же впереди, расширяясь, будет двигаться все медленнее. Подобным же образом можно вывести и результаты, относящиеся к двум вихревым кольцам с равными радиусами и равными, но противоположно направленными скоростями вращения.
2. Прерывные движения жидкости
36) к стр. 42. Относительно вихревых поверхностей ср. стр. 28 в первом трактате.
74
Примечания и объяснения к тексту
37) к стр. 43. Распространение ударов в жидкости и движение вызванной ударами поверхности разрыва (т. е. такой поверхности, на которой скорость меняется прерывно) подробнее исследованы Кристо-феллем (Annali di Matimatica [2] VIII, 1877).
38) к стр. 43. Если существует потенциал скоростей, то интеграция уравнений гидродинамики [(1) стр. 10] дает:
(a) y_Ip + const=f+ +{j%) +(S) j'
Если ф не зависит от времени, то из (а) следует выставленное в тексте положение.
Для газов h не постоянная величина, как для несжимаемых жидкостей, но h = ср, если имеет место закон Мариотта. Поэтому в уравнении (а) вместо р войдет i log р. Если же принять в рассчет, связанное с изменением плотности изменение температуры, то, полагая, что газ не
получает и не отдает тепла, мы вместо закона Мариотта имеем урав-1
нение h = ср7, где 7 имеет то же значение, как и на стр. 44. Поэтому
1 Т) ^
в уравнении (а) вместо р выступает член -----, где 7 = 1,41.
1 “ 7
39) к стр. 43. Этот результат можно вывести следующим образом. Дело идет о движении жидкости, обладающем потенциалом скоростей ф; при том потенциал зависит только от двух координат, если мы движение принимаем одинаковым во всех плоскостях, перпендикулярных к острому краю. Если примем этот край за ось г, то ф удовлетворяет дифференциальному уравнению:
&ф,&ф = „
