Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
1 Г Г Г a cos е • qdq de dc
* = JJJ
y/(z- с)2 + X2 +g2 - 2gxcose’
где пределы e суть 0 и +27Г. Таким образом все следующие формулы на стр. 34 могли быть удержаны без изменения.
27а) к стр. 35. Для пояснения заметим следующее. Так как для рассматриваемого здесь случая Р = О, N = 0, то по уравнениям (4) на стр. 21 имеем:
дМ дф дЬ дф .
и=—= -^-cos?, v = sine,
OZ OZ OZ OZ
поэтому:
_ . дф —и sine + г? cos? = 0, и cosе + v sine = — -r—,
dz
т. e. слагающая скорости перпендикулярная к радиусу, обращается в нуль, а слагающая, параллельная радиусу (т. е. т), имеет значение
— Значение w мы получим, вставляя в последнее уравнение (4) на
1. Вихревые движения
67
стр. 21 выражения для М и L и заменяя дифференцирования по ж и у дифференцированием по х и ?, причем надо помнить, что гр не зависит от е.
28) к стр. 35. Для линий течения имеют место следующие дифференциальные уравнения (сравн. прим. 22):
то по первому из этих уравнений de = 0, так что для линии тока имеем dx = dx cose:, dy = dx sine.
Поэтому остается еще уравнение:
dx _ dz
интеграция которого дает грх — const. Изображение линий тока, вызванных одним вихревым кольцом, можно найти у Максвелла в его Electricity and Magnetism, P. II, табл. XVIII.
29) к стр. 35. '0Ш1 есть значение интеграла в уравнении (7) к стр. 34 если отвлечься от интеграции по g и с. Чтобы этот интеграл привести к нормальному виду эллиптического интеграла, стоит только заменить интеграл с пределами 0 и 27т удвоенным интегралом с пределами 0 и 7г, совершить подстановку е = 7г — 2$ и выразить cos'# через sin'#; тогда:
где ж имеет указанное в тексте значение, а отсюда вытекает приводимое в тексте значение 'фТП1. Зависимость фГП1 от г обуславливается лишь тем, что эта переменная содержится в к.
Нужно заметить, что в оригинале уравнения для ^Ш1, т%, wx на левой стороне имеют знак + вместо знака —, также и правая часть уравнения (8а). Это изменение есть следствие изменения, выясненного в примечании (27).
dx = dy = dz т е dx _ dy _ fa
и v w' т cos ? г sin г w'
Так как:
sin?dx — cos ?dy = — cfe,
T
0
(2 sin2 - 1 )dti
7Г
y/l — к2 sin2 d
2
68
Примечания и объяснения к тексту
30) к стр. 36. В оригинале у третьего и четвертого члена левой части уравнения (8а) недостает множителя 2. Также нужно было прибавить множитель 2 и к соответствующим членам следующих уравнений на этой и следующих страницах. Впрочем, прибавлением этого множителя не изменяется полученный результат, так как там рассматриваемый член исчезает в сравнении с другими.
31) к стр. 37. Переход от уравнений (8) и (8а) к уравнениям страницы 37 может вызвать у начинающих затруднения в виду того, что употребленный здесь способ обозначений совершенно отличен от предыдущего; поэтому мы дадим следующие разъяснения. Рассмотрим, из каких частей слагаются величины, обозначенные в тексте через тп, wn, г/;п. Для этого обозначим слагающие скорости, которую получает первое кольцо от действия на него второго, через 712, ^12, а отличные от них Т21, W21 пусть будут слагающие скорости, которую получает второе кольцо от первого. Аналогично тшп, иошп будут слагающие скорости, получаемой ш-ым кольцом от действия п-ого.
Таким образом, если имеется г колец:
Образуем аналогичные уравнения всех комбинаций колец попарно и, складывая все полученные таким образом уравнения, находим:
П = П2 + ПЗ +
1
Т2 = Т21 + 723 +
Тз = 731 + Т32 +
W1 = W12 + w 13 +
1
Применяя уравнение (8) к первым двум кольцам, получаем:
ГП1Т12Р1 + ГП2Т21Р2 = 0.
mipi(Ti2 + Т13 + . . . + T^i) + ТП2Р2 (j~21 + Т23 + ¦ ¦ ¦ + Тзг) + + ... + mriiPi(TiX + Ti2 + ... + Тц_±) = 0
или
miPiTi + ГП2Р2Т2 + . . . + TTliPiTi
т. е.
1. Вихревые движения
69
Совершенно таким же образом получается из (8а) второе уравнение страницы 37. Что касается первой части этого уравнения, то заметим следующее. Применяя уравнение (8а) сперва для первых двух колец, мы получаем справа:
где есть часть силовой функции ф, представляющая действие второго кольца на первое, а Ф21 ~ часть, происходящая от действия первого кольца на второе. U12 есть определенная на стр. 35 функция [/, в которой х, г, g, с заменены соответственно через pi, Ai, Р2, А2. ф\2 есть функция, обозначенная на стр. 35 через фт1, в которой mi, g, х заменены через Ш2, /02, Pi• Применяя уравнение (8а) последовательно для всех комбинаций колец попарно и суммируя все полученные таким образом уравнения, мы получаем для первой части результирующего уравнения следующее выражение:
