Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
miPi(lpi2 +Ф13 + ¦¦¦ + Ф^) + т2Р2(Ф21 + Ф23 + ¦¦¦+ Ф2г) + ¦¦¦
функцию ф\2 + Ф13 + ¦ ¦ ¦ + Ф^ Гельмгольц обозначает через ф\] таким же образом множитель при ГП2Р2 он обозначает через Ф2 и т. д. Тогда написанное выражение принимает вид:
Что касается перехода от конечного числа колец к бесконечно большему числу, то нужно заметить, что сказанное в тексте относительно этого перехода относится к величинам фп, тп, wn, которые до сих пор представляли собою конечные суммы, теперь же переходят в пространственные интегралы (а именно ф переходит в интеграл (7) стр. 34). Обозначенное знаком ^2 суммирование дает трехкратное интегрирование; таким образом соотношения между суммами переходят в соотношения между шестикратными интегралами. Что переход от обозначенного через ^2 суммирований к интегрированию без всяких оговорок возможен, следует из того, что потенциал пространственных масс и его первые производные конечны и непрерывны во всем пространстве.
2Ш1Ш2
7Г
\JP\P2 U\2
+т\р\ф\2 + ГП2Р2Ф21]
70
Примечания и объяснения к тексту
Указанная в сноске стр. 37 работа, как много раз уже указывалось, напечатана в №2 изд. Ostwald’s Kllassik. Что (стр. 37) только после пе-
дХ др
рехода от суммирования к интегрированию положено w = ^, т = ,
объясняется следующим обстоятельством: выведенные до этого перехода формулы всегда относятся лишь к действию, которое испытывает бесконечно тонкое кольцо со стороны других, находящихся от него на конечном расстоянии, между тем после перехода необходимо обратить внимание и на действие бесконечно близких колец, так что теперь только делается известной полная скорость в данном месте.
31а) к стр. 37. Это теорема, указанная раньше. dpdX можно рассматривать, как поперечное сечение вихревого кольца.
32) к стр. 38. Различно с обозначением на стр. 29 в интеграле К переменными интегрирования введены а, 6, с. Нужно представлять себе, конечно, что в L и М, которые также представляются тройными интегралами, вместо а, 6, с введены другие переменные.
Далее, не согласуя с обозначением в начале §6, цилиндрические координаты, в которых выражаются а, 6, с, названы через р, ?, Л. Поэтому нужно положить ? = — a sin?, rj = a cose:, между тем как формулы L = —ф sine, М = ф cose: остаются без изменения. Что К постоянно относительно времени, доказано на стр. 30.
33) к стр. 39. Здесь мимоходом автор опять пользуется буквами g, с вместо р, Л. Указанное здесь значение для к вытекает из данного на стр. 39, если пренебречь высшими степенями бесконечно малых величин z с, х д.
Что касается формулы для фтп то она основывается на том, что если к приближается к значению 1, то полный эллиптический интеграл первого рода, обозначаемый Гельмгольцем через F, становится
бесконечным, как log (сравн. Legendre, «Traite des fonctions
elliptiques» I, chap. XIX, а также и «Durege», Theorie der elliptischen Functionen, § 50). Полный же эллиптический интеграл второго рода Е при ус = 1 равняется единице.
Пренебрегая конечной величиной 2 в сравнении с бесконечно большой величиной F и принимая во внимание, что с точностью до
бесконечно малой величины = 1, приводим формулу на стр. 35 для фШ1 к виду, данному в тексте.
1. Вихревые движения 71
Приближенное значение F, которым приходится пользоваться здесь, можно вывести следующим образом. Положим 1 — х2 = х2 и разложим интеграл F на сумму двух интегралов; получим:
2-Ф1
F =
/ . « + / ,
i Jcos24> + sin2 ф nJ J,
V 9 -“01 v
cos26 + x? sin2 (
Выбирая для ф\ такое значение, чтобы sin^i было бесконечно малым, но бесконечно большим в сравнении с усi, мы можем в первой части разложить подынтегральную функцию по степеням к\. Пренебрегая уже самой низшей степенью от х2, мы получаем следующее приближенное значение первой части F:
соз^=1о8‘8(|-т)=1о8(л
так как ф\ бесконечно мало.
Вводя далее во второй части F вместо ф новое переменное ^ — ф,
можно, по малости ф, вместо simp и cos ф, положить ф и 1, и тогда вторая часть F приближенно будет равна:
Г йф _ ^ фг + \/Ф\ + _
J у/-ф2 + мi
XI
= log V’l + log 1
Складывая обе части F и пренебрегая ( ^ ) , которая бесконечно мала
\ф1)
в сравнении с 1, имеем F = log •
34) к стр. 39. Последние строчки представляют собой лишь побочное замечание для последующего. Таким образом, при определении порядка величины ^ g рассматривается, как величина конечная. Этот
72
Примечания и объяснения к тексту
порядок величины ^ получается следующим образом: так как U =
0U я2 * ¦ 4Г
= 1о§ ( ) > т0
