Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
сг + гг = /(ф + г^),
таким образом
Но для ф = ±7Г ^ должно равняться нулю, между тем как
принимает значение (Зс), причем верхний знак соответствует ф = +7Г, а нижний ф = —7г. Поэтому мы имеем:
/\ф ± г7г) = 2е^ — е2^,
78 Примечания и объяснения к тексту
причем, чтобы было действительным, нужно прежде всего положить еф < 2.
Интеграция дает:
сЬ /----------- 2
з2 у 2 — + 2 arcsin -
если вместо ф вставим сюда ф + г(^ =F тг) и опустим ограничение, что <2, то получим:
¦ + гг = /(ф + г^) =
= =ргА
±ге
;е2^У2 + е^
=F 2 arcsin
Л \ (Ф+гФ) ^ ге2
\
V2
/ J
> .
Если мы введем знак ± перед г А в скобку и подведем — под знак радикала, то это выражение совпадет с (3d). Отсюда мы узнаем, какой знак нужно приписать радикалу, встречающемуся в (3d); далее, что этот радикал, а также и следующий arcsin меняют свои знаки, когда ф увеличивается на 2тт. Для е^+г^ = —2 производная от /(ф-\-{ф) делается бесконечной.
Заметим еще, что в оригинале в выражении (3d) перед 2 arcsin стоит знак + вместо —; далее, перед формулой (3d) сказано, что после интеграции вместо ф нужно вставить ф + i(ip + 7г); то и другое требовало исправления.
50) к стр. 50. Вместо «вдоль стены» было бы лучше сказать «для гр = ±7г», как это и сделано выше; потому именно, что линии гр = ±7г плоскости фгр не целиком соответствуют твердым стенкам.
В уравнении для а + гт стр. 50 в оригинале по ошибке стоит знак — перед 2 arcsin; из вывода в примечании 49 следует, что вместо минуса нужно поставить знак плюс; потому что выступающее здесь значение а + гт там обозначено через /(ф ± т).
51) к стр. 50. Для пояснения выведенных здесь результатов могут служить следующие замечания. Уравнения (За) и (3d) представляют известное конформное изображение плоскости фгр на плоскости ху;
2. Прерывные движения жидкости
79
и при этом из всей плоскости фф входит в рассмотрение только полоса, простирающаяся от ф = —тг до ф = +7Г, между тем как ф может получать всевозможные значения. Это следует из того, что для ф = = ±7г и = 2 производные от х и у по ф и ф становятся бесконечными. Нужно исследовать, какие точки плоскости ху соответствуют отдельным точкам упомянутой полосы, и в особенности ее граничным линиям; рассмотрение условий, имеющих место для различных частей граничных линий, дает механическое значение соответствующих кривых в плоскости ху.
Для ф = ±7г, сг+гт представляется уравнением на стр. 50, и именно верхний знак соответствует значению ф = +7Г, а нижний — значению ф = — тт. Если е^ > 2, то в указанном выражении квадратный корень будет мнимым, аргумент arcsin действительным и больше единицы. Для такого аргумента ш:
arcsin т = ^7г + i log + у/т2 — 1^ .
Поэтому
сг + гт = ±Ат + /с,
где к обозначает действительную величину, т. е. а = к, г = ±Атг. Таким образом, для > 2 и ф = +7г: у = А7Г + Атт, для > 2 и ф = —тг: у = = —Атг — Атг. Тем частям обеих граничных линий яр = ±7г, для которых ф > log 2 соответствуют в плоскости ху известные отрезки линий ±2А7г параллельных оси х. Так как далее ф = +оо, яр = ±7г, ж = — оо, а для ф = log2, ф = ±7г, ж = — А(2 — log2), то указанные отрезки линий распространяются от х = —оо до х = — А(2 — 1од2). Далее для ф =
= ±7г, > 2 т, как мы видели, постоянно, следовательно, ^ = 0,
оф
ду гл t лсл\ дф дф г,
поэтому — = 0, а поэтому также (сравн. прим. 48) — = — — = 0;
т. е. в соответствующих частях линий плоскости ху перпендикулярная к ним слагающая скорости v = 0; для этих частей линий выполняются условия, которые имеют место для твердых стенок. Ничего не нарушая, можно эти части линии заменить твердыми стенками, а таким образом получаются результаты, выставленные для канала.
Для ф = ±7г, < 2, сг + гт есть чисто мнимая величина. Следо-
вательно, в этом случае ст = 0 и ^ = 0; т. е. для ф = ±7г и < 2
80
Примечания и объяснения к тексту
выполняются все условия, которые необходимо должны выполняться для свободной части струи. Поэтому кривые плоскости ху, которые соответствуют рассматриваемым частям линий гр = ±7г плоскости фг/j, могут быть рассматриваемы как свободные части струи. Эти кривые плоскости ху будут:
х = А(ф — е^),
r ( ~2*\]
У = ±Alt + т = ±A < 7Г + \/2е$ --- e2(^ + 2 arcsin , ^ 1
\ V I,
Если ф изменяется сперва от — оо до 0, затем от 0 до log 2, то х увеличивается от —оо до —А, затем опять уменьшается до — А(2 — log2), между тем как абсолютная величина у все время возрастает и притом
