Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Ь)
дает таким же образом:
— JJ L(vcosj + w cos (3)duj — JJJ L dx dy dz,
?a = a cos a, da db dc = xds.
Поэтому вся масса, потенциал которой есть L, выразится так:
64
Примечания и объяснения к тексту
Но последний интеграл есть нуль, так как он должен быть распространен на замкнутую кривую. То же самое справедливо для всех вихревых колец. Впрочем, поверхностный интеграл в выражении (6а) обратился бы в нуль и в том случае, если бы массы, о которых идет речь, и не были нулями. Это следует из свойств потенциальной функции и ее производных в бесконечно большом расстоянии от действующих масс.
22) к стр. 31. Линии тока или линии течения суть те кривые, касательный которых повсюду имеют то же направление, как результирующая скорость. Дифференциальное уравнение этих линии в данном случае, где дело идет о движении по плоскости, будет:
dx_dy dN_ dN, _ 0
и v ’ т-е- дх ду У ’
и интеграл этого уравнения есть N = const.
23) к стр. 31. Относительно потенциальной функции бесконечно длинной прямой заметим следующее. Потенциал линии, параллельной оси Z и простирающейся от z = —h до z = +ft, в том случае если плотность = 1 и притягиваемая точка лежит в плоскости ху, равен:
-h
V = J „ = log
____dc ( h + Vh2 + P2
где
а/с2 + p2 \ - h + aJh2 + p2
+h
p2 = (x-a)2 + (y-b)2.
Этому выражению для V можно придать следующий вид:
V = 2 log h + 2 log
Для h = оо постоянный член 2\ogh2 будет равен оо, между тем
dV и 2(ж - а)
как ~y~ при а = оо остается конечным, а именно =----------—.
их р
Выражение для V, которое получается, если, опуская постоянное 2 log h, положим h = оо, носит название логарифмического потенциала.
1. Вихревые движения 65
24) к стр. 32. Именно если г есть длина соединяющего отрезка, то
дг
Г~^ = (х2 - XI ){и2 - Ml) + (у2 - Vl){v2 - Wl).
Внося вместо ui, v\, U2, V2 их значения, определяемые формулами стр. 17, в правой части имеем нуль; следовательно, г постоянно.
25) к стр. 42. Пусть у = О есть уравнение стенки, координаты вихревой нити а, Ъ и произведение поперечного сечения на скорость вращения есть га. Зеркальное изображение вихревой нити имеет координаты а, —Ъ и указанное произведение для него имеет величину —га. Компоненты скорости в любой точке жидкости х, у, которые обуславливаются данной вихревой нитью, суть:
- = ?^. » = Г =V(*-«)’ + („-6)’.
Часть скорости ж, у, обуславливаемая зеркальным изображением, имеет компоненты
т У ~ b . т х — а п ч9 . , тто
= Vl=+T—2“’ П = V(x-a)2 + (у-Ъ)2.
Т\ Т\
У стенки г = ri, поэтому v + = 0, т. е. имеет место движение только
параллельное стенке. Для основания перпендикуляра х = а, у = О,
поэтому и + Скорость, вызываемая в самой вихревой нити
7Г о
ее зеркальным изображением, так как здесь х = а, у = Ь, г\ = 26, будет:
— _2Ь_ _ га
1_ ^ 4Ь2 ” 2тгЬ’
итак, эта скорость равна i скорости у основания перпендикуляра.
Задачами о движении прямолинейных вихревых нитей занимались кроме Белтрами в его вышеупомянутом трактате в особенности еще Гринхилл (Quart, j. XV. 1877), Коатес (Quart, j. XV, 1878) и Грёбли (vierteljahrssehrfit der naturforschenden Ges. in Zurich XXII, 1877).
26) к стр. 33. Ось вращения есть касательная вихревой линии, поэтому косинусы ее направления суть — sine, cose:, 0, а потому компоненты скорости вращения а имеют величины, данные в тексте.
66
Примечания и объяснения к тексту
27) к стр. 34. Формула Z. Строки этой страницы в оригинале гласят:
г • л ж 1 Г Г Г а cos(?-e)
L sin е — М cos ? = — / / / -------^-----ДО# а(? — е) ас.
Так же и в формуле (7) на стр. 34 и в следующих формулах, везде вместо е — г стоит ? — е. При этом, по-видимому, выпущено из виду, что если на место е переменной интеграции вводится ?, то пределы делаются равными 0 и — 27г. Поэтому, если далее в оригинале положено:
т . . 1 f f f a cos е • qdq de dc
М cose: - L sine = ф = ¦
\J{z-c)2 +x2 +g2 - 2gxcose’
то здесь интеграл по e распространится от 0, как нижнего предела, до — 27г, как верхнего, между тем, как из дальнейшего видно, что за пределы без оговорок принято 0 и +27Г. По этой причине изменение формул оригинала было необходимо. Чтобы вводить по возможности меньше изменений в текст, ? — е заменено через е — ?, и затем функция ф определена уравнением:
