Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(10.6.30)
Подставляя эти тождества в (10.6.4), определяя обобщенное Р-представление и интегрируя по частям (при условии исчезновения соответствующих членов на границе области), мы можем использовать данные тождества для определения операций над Р-функцией, которые зависят от выбранного представления.
а) P-представление Глаубера — Сударшана
Мы имеем здесь те же результаты, что и в (10.2.26).
б) Комплексное Р-представление ар <-> аР(д)
а+р <-* (/? — 5!За)Р(а) (10.6.31)
ра+ <-> рР(а) ра <-> (а — 3/dfi)P(g),
в) Положительное Р-представление
Используем здесь аналитичность функции Л(а, /3) и заметим, что если
а = ах + 1\ау /?=/?* + !/?,,
(10.6.32)
то
(3/да)Л(а) = (dldax)A(a) = ( — idlday)A(g)
(10.6.33)
(д!др)А(а) = (д/дРх)А(а) = (-id/dfiy)A(g). ' (10.6.34)
Поэтому кроме соотношений (10.6.31), справедливых и в этом случае, мы имеем дополнительные соотношения
а+Р — djdax)P(g) <->(/?+ id/da,) P(g)
(1U.O.30)
ра <-> (а — д/д(Зх)Р(д) <-» (а + \д/ЗРУ)Р(д) .
Все эти соответствия можно использовать по мере необходимости для вывода уравнений Фоккера — Планка.
Квантовомеханические марковские процессы 497
10.7. ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ^-ПРЕДСТАВЛЕНИЙ К УРАВНЕНИЯМ ЭВОЛЮЦИИ ВО ВРЕМЕНИ
Сначала мы покажем, что /^-представление Глаубера — Сударшана не всегда дает приемлемое уравнение Фоккера — Планка, но в некоторых отдельных случаях это действительно так.
Рассмотрим одномодовый интерферометр с нелинейным поглотителем, возмущаемый когерентным образом. В этом случае (см. [10.9])
я, = Tih^mri + j)
I
Нг = ? [(a+yglrt + a*g*rt]
i
Нъ = hco(a+a + i) + Иг(ве~ша+ — a* eimla)
(10.7.1)
(10.7.2)
(10.7.3)
Этот пример во многом похож на пример, рассмотренный в разд. 10.4.1. Используя уравнение (10.3.38) и предполагая, что температура термостата равна нулю, получаем управляющее уравнение в представлении взаимодействия
др г +
S7 ~ [и
е*а, р] + \К[2а2р(а+)2 — (а+)2а2р — р(а+)2а2].
(10.7.4)
Используя обычные операторные соответствия для представления Глаубера — Сударшана, находим
dt
Р(а,а*)
— Д (е — Ка2а*) — i {Ка2) + компл.сопр.
да да2
Р(а,а*).
(10.7.5)
В действительных переменных
х = (а + а*)/л/ Т у = (а - a*)//VТ • диффузионная матрица имеет вид -К/2 -К]
-К
К/2.
(10.7.6)
и не является неотрицательно определенной. А значит, уравнение временной эволюции вида (10.7.4) будет проявлять сингулярности. Нам приходится, следовательно, обратиться к альтернативным уравнениям в различных ^-представлениях.
Наивное следование правилам, применимым при условии неотрицательной определенности диффузионной матрицы, приводит к стоха-
498 Глава 10
стическим дифференциальным уравнениям
d а
dt а*
е — Ка2а*
? — К(а*)2а
Wk
а*Ш
(10.7.7)
в которых ?[(f) и ?2(f) — независимые белые шумы. Однако при этом возникает следующий парадокс. Поскольку ?, и ?2 независимы, а и а* не остаются комплексно-сопряженными. Мы приходим к ситуации, подобной ситуации в случае представления Пуассона, в которой также появлялись отрицательные матрицы диффузии.
10.7.1. КОМПЛЕКСНО!: Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В этом случае та же процедура приводит к уравнению, очень похожему на уравнение для случая Глаубера — Сударшана. Мы предполагаем, что с помощью соответствующего переупорядочения дифференциальных операторов можно свести квантовомеханическое управляющее уравнение к виду
dp dt
II A{a)dP^dad(S
с, с'
dt А^(а)
UU
где (а, /3) = а = (а(1)
II
С, С'
о
да*
д д
P(a)da dp,
(10.7.8)
,(2>V
); pl = 1,2. Интегрируя это уравнение по ча-
стям и пренеорегая выражениями на границе, что, по-видимому, возможно при соответствующем выборе контуров интегрирования С и С’ , мы получаем по крайней мере одно решение, если приравняем коэффициенты при функции / (а):
дР(а)
dt
¦<'<«>
Яд).
(10.7.9)
Этого уравнения достаточно для выполнения уравнения (10.7.8), но оно не единственно, поскольку функции А(а) не являются линейнонезависимыми. Следует отметить, что величины А^(а) и Z>"(g) для данного представления всегда аналитичны по а. Следовательно, если функция Р(а) аналитична в начальный момент, то в силу (10.7.9) она сохраняет эту аналитичность во времени.
10.7.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Рассмотрим снова уравнение (10.7.8), но в предположении, что Р-представление положительно. Симметричную матрицу всегда можно факторизовать и записать в виде
