Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
л, т
а С, С' — пути интегрирования, окружающие начало координат.
Теорема 2. Комплексное P-представление существует для любого оператора, который можно разложить по когерентным состояниям в ограниченной области, т. е. представить в виде
р = 11 Л (а, /?)С(а, P)d2ad2P , (10.6.12)
D, D'
где D, D' — ограниченные области в каждой комплексной плоскости.
Доказательство. Применяя теорему Коши, можно показать, что если
Р(«) = - тк I J С(а', Я/[(« - «')(/? - p')]d2a'd2p', (10.6.13)
W D, D'
ТО
Р = \ I A(g)P{a)da dp , (10.6.14)
С, с'
где контуры С, С' ограничивают соответственно области D, D'. Следовательно, комплексное P-представление в этом случае существует для любого ограниченного разложения по проекционным операторам когерентных состояний.
Теорема 3. Для любого квантового оператора плотности существует положительное Р-предс^авление. имеющее вид
Р{а) = (1/4л2) ехр (— | а - /?*|2/4)<К« + /ПМК« + Р*У> • (Ю.6.15)
Доказательство. Функция Р(а) положительна, поскольку она образована из диагонального матричного элемента оператора плотности, умноженного на положительную функцию. Для того чтобы показать, что эта функция представляет в общем случае квантовый оператор плотности, используем характеристическую функцию
/(Я) = Тг [р еАа+ е"'1*0}.
(10.6.16)
494 Глава 10
В разд. 10.2.5 было показано, что эта функция определяет оператор р единственным образом. Характеристическую функцию можно выразить через R -представление оператора р:
XW = J R(a*, Я + а) ехр (-Я*« - |а|2)<^а . (10.6.17)
Подставим теперь ^-представление для р в формулу (10.6.15), выражающую функцию Р(а) через диагональные матричные элементы оператора р. Затем введем оператор рр в форме положительного Р-представления (10.6.4), функция Р(а) в котором определена на предыдущем этапе. Найдем теперь соответствующую характеристическую функцию, используя определение (10.6.16), и покажем, что она совпадает с первоначальной характеристической функцией оператора р. Итак,
хр(х) = я р(я) ехр (Я/? - X*a)d2ad2P
= 4^4 ЯЯ *(«'*> Лехр[Я/?-Я*а-||а|2-||/?|>~ |«'|2- \Р’\г + №'*(<* + Р*) + \а’*(а* + P)]d2ad2pd2a'd2Р' .
Произведем теперь следующую замену переменных: у = (а + р*)12 3 = (а — P*)j2
а = (у + 3) Р* = (у — 3) (10.6.18)
d2ad2p = 4d2yd23.
Поскольку функция/? аналитическая, имеет место полезное тождество
R(a*, У) = ^ J R(a*, Р) ехр (у/3* - \p\2)d2p . (10.6.19)
Следовательно, полученное выше выражение для характеристической функции можно упростить и получить
XpW = ^Я1 R(a'*’ У) ехР Wy - V* - Ь*(У + 8)
-1Я2 - |<5j2 — |а'|2 + a'y*]d2yd23d2a' (10.6.20)
= ^2 Я У) ехр (|Я|2 + Ху* - Х*у - \у\2
— ,| а' |2 + a'y*)d2yd2a' (10.6.21)
= -J- J R{a*, Я + а) ехр (-Я*а - \a\2)d2a . (10.6.22)
Кнантоиомеханичсские маркоткне иротчсы 495
Таким образом,
*,(Я) = Тг [реъ+е-1*'} = *(Я). (10.6.23)
Из идентичности характеристических функций заключаем, что
Рр = Р-
10.6.3. СВЯЗЬ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ПУАССОНА
Задавая распределение вероятностей q(x) на множестве целых чисел, мы всегда можем определить соответствующую положительную матрицу плотности по формуле
/> = !]!«> <«к(«), (ю.6.24)
п
причем P-представление для матрицы р дает соответствующее представление Пуассона для функции Р(п). Так, находим
q{x) = (х\р\х) = <*| J drfa, Р)Р(а,Р) I*> (10.6.25)
(10.6.26)
л:!
Следовательно, можно записать равенство
q(x) = J , (10.6.27)
где
f(ax)dp{ax) = J dfi(a, /?)<5Да/? — «х)Р{а, /?) (10.6.28)
а 5^(а, — а2) — дельта-функция Дирака, определенная на мере т. е.
J d/j.faJSpfai — а2Ж«]) = Ф(аг) ¦ (10.6.29)
Таким образом, из теоремы 3 мы можем заключить, что положительное представление Пуассона всегда существует, как это утверждалось в разд. 7.7.4. Применяя также первую теорему, можно показать, что комплексное P-представление всегда существует, если q(^c) — 0 для л- > 7V и некоторого конечного N. Однако в разд. 7.7.3 уже был доказан более общий результат.
10.6.4. ОПЕРАТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Из определения (10.6.5) недиагональных проекционных операторов, соответствующих когерентным состояниям, можно получить следующие тождества. Обозначая снова через а пару переменных (а, /3),
496 Глава 10
имеем
аЛ(а) = аЛ(д)
а+Л(а) = (/? — 8/За)А(д)
Л (а)а+ = рЛ(а)
А(д)а (5/5/? + а)А(а) .
