Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
/?(«*, 0)= <«Ы/?>ехр(1М2+ Ш12)
(10.6.3)
Р=«г1 1«> *(«*> ют ехр [-КМ2 + | md2ad2p .
Это представление аналитично по переменным а*, 0 (и, следовательно, несингулярно). Оно также по определению неотрицательно и нормировано на единицу при наличии гауссовского весового множителя. По последней причине для него нельзя записать уравнение Фоккера — Планка и его нельзя интерпретировать как квазивероятность. Тем не менее существование такого распределения указывает на то, что вычисления с нормально упорядоченными наблюдаемыми величинами для любого оператора р возможны и при несингулярном представлении.
Кваигономеханичсскис марковские процессы 491
10.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Для решения задач нелинейной квантовой оптики, в которых возникает неклассическая статистика фотонов, Друммонд и Гардинер [10.9] ввели класс обобщенных P-представлений путем разложения оператора плотности по недиагональным проекционным операторам, описывающим когерентные состояния. Используемые при этом методы аналогичны методам, применявшимся для определения различных пуас-соновских представлений в разд. 7.7. Обобщенные Р-представления определяются следующим образом. Мы полагаем
dfx(a, в) — мера интегрирования, выбор которой определяет различные классы возможных представлений, а 5" — область интегрирования. Проекционный оператор А(а, /3) является аналитической функцией от переменных а, (3.
Полезными оказываются следующие меры интегрирования:
а) Р-представление Глаубера — Сударшана
Эта мера соответствует P-представлению Глаубера — Сударшана
б) Комплексное Р-представление
Здесь а, (3 рассматриваются как комплексные переменные, интегрирование по которым ведется по отдельным контурам С, С . Существование этого распределения при определенных условиях будет продемонстрировано в следующем разделе. Это представление, в частности, существует для оператора, который можно разложить по конечному базису состояний, нумеруемых целыми числами. Эта ситуация характерна для неклассической статистики фотонов (разгруппирование фотонов). При этом P-представление Глаубера — Сударшана обычно сингулярно. Это представление носит название комплексного Р-представления, поскольку значения функции Р(а, (3) комплексны. Можно показать, что эта функция Р(а, /3) удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка, получаемому из обычного уравнения Фоккера — Планка типа Глаубера — Сударшана с помощью замены (а, а*) на (а, (3).
p = j А(а, (З)Р(а, P)d/x(a, /3) ,
9
(10.6.4)
где
(10.6.5)
dju(a, /3) = 52(аг* — (3) d2ad2/3.
(10.6.6)
dfi{a, (3) = da dp.
(10.6.7)
492 Глава 10
При определенных условиях можно найти точные решения этих уравнений Фоккера — Планка, которые, однако, не могут быть нормированы в отличие от P-функций Глаубера — Сударшана. Оперировать с ними можно в рассматриваемом представлении, если выбрать контуры интегрирования С, С' в комплексном фазовом пространстве а, /3.
в) Положительное Р-представление d[i(a, Р) = d2ad2p.
В этом представлении допускается независимое изменение переменных во всей комплексной плоскости. Мы покажем в следующем разделе, что для физического оператора плотности функция Р(а, /3) всегда существует и может быть выбрана положительной. Мы называем такое представление положительным P-представлением. Это означает, что функция Р(а, /3) обладает всеми свойствами истинного распределения вероятностей. Мы также покажем, что если какое-либо уравнение Фоккера — Планка существует в представлении Глаубера — Сударшана, то существует соответствующее уравнение Фоккера — Планкк с неотрицательно определенным коэффициентом диффузии и для положительного P-представления. Это позволяет вывести стохастические дифференциальные уравнения и установить соответствие между квантовым марковским процессом и обычным диффузионным процессом.
Моменты операторов определяются, конечно, во всех представлениях выражением
<(a+)ma'’> = j dfi(a, ji)PmanP{a, /?) . (10.6.8)
я
10.6.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В этом разделе мы покажем, что для обобщенных Р-представлений можно получить довольно сильные результаты, касающиеся условий существования. Мы сделаем это при помощи ряда теорем. Читателю следует обратить внимание на то, что будет использоваться обозначение
а = (а, Р).
Теорема 1. Для оператора плотности, который можно разложить в конечный ряд по операторам типа (а+ )'" 10) < 01 ап, существует комплексное Р-представление.
Квантовомеханические марковские процессы 493
Доказательство. Пусть Р = XIX! Спт(а+У 10> <01 а". (10.6.9)
л, т
Тогда по теореме Коши имеем
р = <j> <j> A(g)P(q)dp(a) , (10.6.10)
с, с'
где
Р(а) = (— 1/4л:2)е^ 22 Сптп\т\а~т~1Р~п~1 , (10.6.11)
