Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример: Возмущаемый осциллятор с затуханием. Из разд. 10.4.1 в легко получить стохастическое дифференциальное уравнение для переменной а — as:
d(a — as) = —{%К -f iсо')(а — as)dt + \/ KN dr](t),
TRzd-q2 — d-q*2 - 0, di)di)* = dt. Следовательно, переходя к новой переменной
/ = | (а — as)21 , получаем
dl = —Kldt + VKti [(« “ as)*dt] -f (a — as)drj*] + d(a - as)d(a - a )* и
<*<?> = -K(i) + KN. dt
Итак, величина </> — N подчиняется линейному уравнению; следовательно, можно применить квантовую теорему регрессии и получить стационарную корреляционную функцию
<I(t), /(0)>s = е-А'<(/(0) - ^)2>.
Вследствие гауссовской природы стационарного распределения переменных / (/), а*(0 имеем
</(0)2>s = {(х2 + у2)2) = (х* + 2х2у2 + у4) (здесь а - as = jt + [у).
Поскольку переменные х и у в стационарном состоянии независимы (это следует из (10.4.23)), то
</(0)*>. = 2</(0)>5 = 2N2 <(/(0) - N)2>ь = ^2,
и, следовательно,
</(/),/(0)>. = G2(tX = N2e~Kr.
Аналогично получаем формулу <«*(/) ,а(0)>„ = G\t)s = jVexp[
10.5.3. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОГО АТОМА
В этом случае вполне применима теорема регрессии и выражения для корреляторов быстро получаются из разд. 10.4.2. Для простоты мы будем рассматривать только стационарные корреляционные функции
-({К - /си)/].
(10.5.33)
(10.5.34)
Квантовомеханические марковские процессы 489
<2(0 =
Тогда
dQ(t)
dt
<,S+(t)S+(0))s (S+(t)S~(0)ys (S+(t)S2(0))
(S~(t)S+( 0)>s <5-(05-(0)>, (S-(t)SM>
L<5,(0^+(0)>, <.SAt)s-(p)\ (SXDSX 0)>J
(10.5.35)
¦~bK(2N+ 1) 0
?iiie*
0 \de
-\K(2N+\) -ids*
-\\de -K(2N+ 1).
G(t). (10.5.36)
Это матричное уравнение можно проинтегрировать и получить его полное решение. Начальное условие упрощается при использовании алгебраических свойств матриц (10.4.28) и приводится к виду
<У(0)
о
Kl - s.>.
. <5+>s
K1+S,). -<^+>5
0 <^->s
-<5->s 1
(10.5.37)
а входящие сюда стационарные значения уже были приведены в разд.
10.4.2. Задача нахождения в явном виде корреляционных функций и спектра была решена Кармайклом и Уоллсом [10.6].
10.6. ОБОБЩЕННЫЕ Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Идея представления матрицы плотности в виде линейной комбинации матриц плотности когерентных состояний, как это делается в Р-представлении Глаубера — Сударшана, является особенно полезной в тех квантовых системах, которые описываются бозе-операторами а + и а. Дело в том, что только таким способом квантовое управляющее уравнение можно свести к уравнению для обычных стохастических процессов. Ситуация здесь противоположна случаю представления Пуассона, которое лишь преобразует стохастический процесс рождения — гибели в диффузионный процесс.
Несмотря на формальное сходство с классическим распределением вероятностей, распределение Р(а) не является истинным распределением вероятностей, а относится к классу квазивероятностных распределений. В то время как/3(си) существует и является неотрицательным для тепловых световых полей (гауссовское распределение см. разд. 10.4.1) и когерентных лазерных полей (распределение в виде ё-функции), для полей с неклассической статистикой фотонов Р(а) не обязательно неотрицательная функция с хорошим поведением (Клау-дер и Сударшан [10.3] показали, что она существует, но в виде чрез-
490 Глава i0
вычайно сингулярных распределений). Такие неклассические поля наблюдались в экспериментах по атомной флюоресценции. Существуют и другие квазивероятностные распределения, для которых некоторые из трудностей, возникающих в случае Р-представления, отсутствуют. Распределение Вигнера, являющееся исторически первым квазивероят-ностным распределением, может быть получено из /^-представления при помощи интеграла
Ща) = ^ J Р(р) ехр(— 2[/? - a\2)d2p . (10.6.1)
Распределение Вигнера всегда существует в виде несингулярной функции, но может принимать отрицательные значения. Это распределение упрощает усреднение симметрично упорядоченных произведений операторов, но менее удобно при усреднении нормально упорядоченных произведений операторов.
Другим распределением, которое уже всегда положительно, является распределение Q, связанное с диагональными матричными элементами оператора плотности в а-представлении:
Q(a, а*) = (сс\р\а) /ж. (10.6.2)
Хотя это распределение неотрицательно, оно имеет тот недостаток, что не всякая положительная Q-функция отвечает неотрицательноопределенному эрмитову оператору плотности. Кроме того, выражения для моментов в Q-представлении просты только в случае анти-нормально упорядоченных произведений операторов.
Глаубер ввел также R-представление при помощи разложения (10.1.37) произвольного оператора, применив его к оператору плотности:
