Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 164

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 185 >> Следующая


(a*(t)a(t)) = <а*(0)а(0)> е^1 + N{ 1 - е^:)

(10.4.17)

<®2)» = <«*2>s = 0

(aa*}s = (а+а)3 = N.

(10.4.18)

Видим, что выражение (a+a)s исчезает лишь при N = 0, т.е. при нулевой температуре. Интерпретация временных корреляционных функций для этого процесса Орнштейна — Уленбека будет дана в разд. 10.5.

в) Включение возмущающего поля

Рассмотрим теперь возмущаемый гармонический осциллятор с затуханием, взяв его гамильтониан в виде

#3 = ha>(a+a + ?) + fi(ea+ + е*а). (10.4.19)

Этот гамильтониан описывает квантовый осциллятор, взаимодействующий с неквантовым полем (разд. 10.1.1).

В уравнении Фоккера — Планка появляется тогда дополнительный член

(1СЭ* 1?*да*)Р>

с учетом которого оно принимает вид

ie

ЭР

dt

({К + iw') Д [а +

+

да \ {К — iсо'

• ,ч д I * ie

kK - ico'

7) + KN 9

дада*

Р.

(а) з = —ie/(^AT — ico') = <a)s

(аа*) — (а)(а*} = N

(а2) — (а)2 = (а*2} - <»*>2 = 0,

(10.4.20)

(10.4.21)

Это уравнение снова представляет процесс Орнштейна — Уленбека, но со сдвинутым началом, так что

(10.4.22)

(10.4.23)
Квантовомеханические марковские процессы 477

а зависящее от времени решение для среднего значения имеет вид 'К

<«(0> = <«(0)> ехр [^- (у + icy')

\К ico'

1 — ехр

-(т + 1со')‘

(10.4.24)

Стационарное распределение в P-представлении является гауссовым с дисперсией N и средним значением, определяемым формулой (10.4.22). Если величина N мала, то это распределение отвечает матрице плотности р, которая мало отличается от матрицы плотности чистого когерентного состояния las><as I. Таким образом, хорошая аппроксимация когерентного состояния дается классическим возмущающим полем, взаимодействующим с гармоническим осциллятором, который в свою очередь взаимодействует с низкотемпературным термостатом.

г) Воздействие флуктуационного поля

Пусть величина с в (10.4.19) будет функцией (возможно, стохастической) от времени — e(t). Уравнение Ланжевена для а, а* при этом принимает вид

da(t) = [-(** + i- i?{t)]dt + ^^[dWAt) + idWm • (10.4.25)

Поскольку величина e(t) входит в это уравнение линейно и умножается на константу, мы можем сделать несколько простых предположений.

Простейшее из них состоит в том, что мы переходим к пределу малых времен корреляции и делаем замену

e(t)dt = e0dt + jL[dw3(t) + j dwm,

которая задает независимые флуктуации по каждой компоненте (при этом не возникает вопроса об интерпретации по Ито или по Страто-новичу, поскольку коэффициент при c(t) постоянен). В результате это приводит к следующей замене в уравнении (10.4.21):

KN—KN+f, (10.4.26)

означающей, что дополнительный шум просто увеличивает интенсивность теплового шума, уже имеющегося в системе. Поступая иначе, можно записать уравнения движения для e(t) и решать их совместно со стохастическим дифференциальным уравнением (10.4.25).
478 Глаиа 10

10.4.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НА АТОМ С ДВУМЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ УРОВНЯМИ

Двухуровневый атом, который может находиться в одном из двух состояний, является удобной идеализацией и часто используется при рассмотрении атомных систем. Будем описывать его с помощью матричного формализма

|->

1+) =

основное состояние

возбужденное состояние.

(10.4.27)

Переходы, которые могут происходить в системе, описываются матрицами Паули

5+ =

0 г 0 оп 1 0'
, 5- = , St =
о о_ .1 0 о -1.
(10.4.28)

Так, матрица S+ переводит атом из основного состояния в возбужденное, а матрица S~ — из возбужденного состояния в основное. Гамильтониан системы, взаимодействующей с полем излучения и возмущающим полем E(t), можно записать в виде

Н3 = incogs, - \M[S+E(t) + S-?*(/)]

Hz = ? \g,S*a, + g,*S-a+t] (10.4.29)

i

tf, = 2 tlco,(af at + ?).

1 1

С физической точки зрения член — hu0Sz приписывает энергию — Пш0

возбужденному состоянию и —^ Нш0 — нижнему состоянию, так что

энергия возбуждения составляет величину Нш0. Второй член в Н3 представляет взаимодействие возмущающего поля с дипольным моментом атома и имеет по существу тот же вид, что и Н2, в котором, однако, все моды, описываемые индексом /, квантованы. Считается, что моды / соответствуют фотонам с энергией йш,, движущимся в различных направлениях, помечаемых индексом / , в то время как возмущающее поле ?(/), являясь строго классическим, распространяется в одном определенном направлении.

Кванты поля излучения служат термостатом. Мы используем здесь обозначение а, для операторов Г, . Хотя в принципе термостат
Кнан i овомеханические марковские мропгса

может иметь любую температуру, в экспериментальных ситуациях он обычно имеет практически нулевую температуру. Мы, однако, сохраним возможность ненулевой температуры Т.
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed