Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(a*(t)a(t)) = <а*(0)а(0)> е^1 + N{ 1 - е^:)
(10.4.17)
<®2)» = <«*2>s = 0
(aa*}s = (а+а)3 = N.
(10.4.18)
Видим, что выражение (a+a)s исчезает лишь при N = 0, т.е. при нулевой температуре. Интерпретация временных корреляционных функций для этого процесса Орнштейна — Уленбека будет дана в разд. 10.5.
в) Включение возмущающего поля
Рассмотрим теперь возмущаемый гармонический осциллятор с затуханием, взяв его гамильтониан в виде
#3 = ha>(a+a + ?) + fi(ea+ + е*а). (10.4.19)
Этот гамильтониан описывает квантовый осциллятор, взаимодействующий с неквантовым полем (разд. 10.1.1).
В уравнении Фоккера — Планка появляется тогда дополнительный член
(1СЭ* 1?*да*)Р>
с учетом которого оно принимает вид
ie
ЭР
dt
({К + iw') Д [а +
+
да \ {К — iсо'
• ,ч д I * ie
kK - ico'
7) + KN 9
дада*
Р.
(а) з = —ie/(^AT — ico') = <a)s
(аа*) — (а)(а*} = N
(а2) — (а)2 = (а*2} - <»*>2 = 0,
(10.4.20)
(10.4.21)
Это уравнение снова представляет процесс Орнштейна — Уленбека, но со сдвинутым началом, так что
(10.4.22)
(10.4.23)
Квантовомеханические марковские процессы 477
а зависящее от времени решение для среднего значения имеет вид 'К
<«(0> = <«(0)> ехр [^- (у + icy')
\К ico'
1 — ехр
-(т + 1со')‘
(10.4.24)
Стационарное распределение в P-представлении является гауссовым с дисперсией N и средним значением, определяемым формулой (10.4.22). Если величина N мала, то это распределение отвечает матрице плотности р, которая мало отличается от матрицы плотности чистого когерентного состояния las><as I. Таким образом, хорошая аппроксимация когерентного состояния дается классическим возмущающим полем, взаимодействующим с гармоническим осциллятором, который в свою очередь взаимодействует с низкотемпературным термостатом.
г) Воздействие флуктуационного поля
Пусть величина с в (10.4.19) будет функцией (возможно, стохастической) от времени — e(t). Уравнение Ланжевена для а, а* при этом принимает вид
da(t) = [-(** + i- i?{t)]dt + ^^[dWAt) + idWm • (10.4.25)
Поскольку величина e(t) входит в это уравнение линейно и умножается на константу, мы можем сделать несколько простых предположений.
Простейшее из них состоит в том, что мы переходим к пределу малых времен корреляции и делаем замену
e(t)dt = e0dt + jL[dw3(t) + j dwm,
которая задает независимые флуктуации по каждой компоненте (при этом не возникает вопроса об интерпретации по Ито или по Страто-новичу, поскольку коэффициент при c(t) постоянен). В результате это приводит к следующей замене в уравнении (10.4.21):
KN—KN+f, (10.4.26)
означающей, что дополнительный шум просто увеличивает интенсивность теплового шума, уже имеющегося в системе. Поступая иначе, можно записать уравнения движения для e(t) и решать их совместно со стохастическим дифференциальным уравнением (10.4.25).
478 Глаиа 10
10.4.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НА АТОМ С ДВУМЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ УРОВНЯМИ
Двухуровневый атом, который может находиться в одном из двух состояний, является удобной идеализацией и часто используется при рассмотрении атомных систем. Будем описывать его с помощью матричного формализма
|->
1+) =
основное состояние
возбужденное состояние.
(10.4.27)
Переходы, которые могут происходить в системе, описываются матрицами Паули
5+ =
0 г 0 оп 1 0'
, 5- = , St =
о о_ .1 0 о -1.
(10.4.28)
Так, матрица S+ переводит атом из основного состояния в возбужденное, а матрица S~ — из возбужденного состояния в основное. Гамильтониан системы, взаимодействующей с полем излучения и возмущающим полем E(t), можно записать в виде
Н3 = incogs, - \M[S+E(t) + S-?*(/)]
Hz = ? \g,S*a, + g,*S-a+t] (10.4.29)
i
tf, = 2 tlco,(af at + ?).
1 1
С физической точки зрения член — hu0Sz приписывает энергию — Пш0
возбужденному состоянию и —^ Нш0 — нижнему состоянию, так что
энергия возбуждения составляет величину Нш0. Второй член в Н3 представляет взаимодействие возмущающего поля с дипольным моментом атома и имеет по существу тот же вид, что и Н2, в котором, однако, все моды, описываемые индексом /, квантованы. Считается, что моды / соответствуют фотонам с энергией йш,, движущимся в различных направлениях, помечаемых индексом / , в то время как возмущающее поле ?(/), являясь строго классическим, распространяется в одном определенном направлении.
Кванты поля излучения служат термостатом. Мы используем здесь обозначение а, для операторов Г, . Хотя в принципе термостат
Кнан i овомеханические марковские мропгса
может иметь любую температуру, в экспериментальных ситуациях он обычно имеет практически нулевую температуру. Мы, однако, сохраним возможность ненулевой температуры Т.