Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Квантовомсханическне марковские процессы 499
D(q) = B(q)BT(q) . Воспользуемся равенствами А(д) = Ах(а) + iAy(a) в(а) = Bx(q) + \Ву(а) ,
(10.7.10)
(10.7.11)
(10.7.12)
где величины Ах, 1. Вх, И действительные. Подстановка этих равенств в управляющее уравнение дает уравнение
Для простоты записи мы использовали здесь обозначения Э/Эа^ = Э* и т. д., а также воспользовались аналитичностью функции Л(д) для выполнения замен
чтобы получить уравнение (10.7.13)
При условии что допустимо интегрирование по частям, мы выводим теперь уравнение Фоккера — Планка
Это уравнение для временной эволюции снова не единственно, но при этом уравнение (10.7.13) является следствием уравнения (10.7.15).
Однако теперь уравнение Фоккера — Планка (10.7.15) обладает неотрицательно определенной диффузионной матрицей в четырехмерном пространстве, задаваемом векторами
Э^= \\d>ad>PA(a){dP{q)ldt)
= я РЬ&и&яЩ + ЩяЩ + №?B?d;d*v
+ BfBy’dfil + 2B^B^d;dO\A(q)d2ad2(i.
(10.7.13)
djda^ <-» д* *-*
(10.7.14)
dP(q)/dt = l -O^Jq) - 3'Af(q) + \[д^В^В^а)
+ 2d&B?(q)B;°(q) + dfilBy(q)B7(a)}} P(a) .
(10.7.15)
. (10.7.16)
(10.7.17)
500 Глава 10
Матрица D, таким образом, неотрицательно определенная (а не положительно определенная). Соответствующие стохастические дифференциальные уравнения Ито можно записать в виде
d 10;, dt ! av
•1,~Bx(a)Z(t)}
¦-\ L (10.7.20)
1?у(аШ J
или, объединяя вновь действительную и мнимую части, в виде daldt = А(а) + В{д)ф) . (10.7.2Г
Уравнение (10.7.21) является как раз тем стохастическим дифференциальным уравнением, которое получается при использовании представления Глаубера — Сударшана, если не считать замены а* — (5 и наивного использования уравнения Фоккера — Планка с неположительно определенной диффузионной матрицей в стохастическом дифференциальном уравнении Ито (в случае представления Глаубера — Сударшана).
В нашем выводе две формальные переменные (а, а*) были заменены на переменные (а, /3) на комплексной плоскости, которые могут флуктуировать независимо. Введенное здесь положительное Р-представление выступает, тгким образом, как математическое обоснование этой процедуры. Использованная здесь процедура близк^ к методике разд. 7.7.4 для положительного представления Пуассона.
10.7.3. ПРИМЕР
Рассмотрим пример из разд. 10.7. Используя подходящее операторное соответствие, напишем УФП для комплексного^Р-представления
д,Р(а, ?) = [-А(е- Ка2/}) - у э^(^«2) - §р(е - КаЛ
- yJf2W] Р(«>Ю. (10.7.22)
Довольно удивительно то, что это уравнение Фоккера — Планка удовлетворяет потенциальным условиям разд. 5.3.3. В обозначениях указанного раздела имеем
, [е - Ка2/}} [ — Ка2 0 '
—— j | j
[е — К/Г'а\ ’ ~ ~ i 0 -К/}2]'
(10.7.23,
Квантовомеханические марковские процессы 501
Используя также формулы (5.3.22, 23), находим
2 Ге/«2 - КР + К/а ~ К [в//?2 - Ка + К1р, ’
dZa^dZf дР да
(10.7.24)
и поэтому
ф(а, р)=-\ (.ZJa + Z„dp)
= + + 2 log (а/?) - 2а/?
К \ а р!
(10.7.25)
Следовательно,
Р?а, Р) = («/?) 2 ехр 2а/? +
(10.7,26)
Для этого стационарного распределения единственно приемлемыми контурами являются контуры С, С', которые независимым образом лежат в плоскостях а и /3 и охватывают существенные сингулярности в точках а = 0 и /3 = 0.
Потенциальное решение такого типа чрезвычайно полезно, и его нельзя получить из P-представления Глаубера — Сударшана. Моменты этого распределения легко получить при помощи формулы
Если мы разложим ехр(2а/3) в степенной ряд и выполним почленное контурное интегрирование, то получим выражение для моментов в виде ряда
который легко вычисляется.
Используя положительное Р-представление, получаем стохастическое дифференциальное уравнение
(10.7.27)
(10.7.28)
г\(п-~г- 1)! (/гг — г — 1)! ’
(10.7.29)
502 Глава 10
Следует отметить, что это уравнение не содержит какого-либо заметного малого параметра, связанного с шумом. Однако, полагая
К = К/е*
а = as (10.7.30)
Р = h ,
можно рассмотреть случай сильного возмущающего поля. При этом
da
dP
1 - КагР 1 - Кар1
dt i
га dw,(t)
? lPdW2(t)\
(10.7.31)
В пределе сильного возмущающего поля и малой нелинейности, полезном для практических ситуаций, мы можем линеаризовать указанные уравнения, считая шум малым.
Литература
ГЛАВА 1
