Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагается, что возмущающее поле Е (t) имеет такую частоту ш0, которая требуется для возбуждения атома. Таким образом, мы записываем
В рассматриваемом случае лучше всего перейти к представлению взаимодействия, в котором отсутствуют быстрые осцилляции. Введем
Тогда изменение p(t) можно описать с помощью гамильтонианов
Читатель может проверить, что все этапы дальнейших выкладок такие же, как и в разд. 10.3.3, с той лишь разницей, что нужно сделать замену
означающую, что величины у(() определяются теперь точно гак же, как в (10.3.9). Таким образом, явная экспоненциальная зависимость от времени появляется здесь именно в результате свободного движения атома.
Используя алгебраические свойства матриц (10.4.28), получаем для редуцированной матрицы плотности р в представлении взаимодействия такое управляющее уравнение:
Мы не можем использовать здесь когерентные состояния, поскольку матрицы S+ , Sz действуют в двумерном пространстве и не являются операторами гармонического осциллятора. Матрица плотности является 2 х 2-матрицей с единичным следом и полностью определяется
E(t) = г e-i"o'.
(10.4.30)
(10.4.31)
tf3 = -\hd(S*e + S-e*)
Н2 = 2 (g, е‘“0' S+a, + gfe-^S-at)
(10.4.32)
t
gi — g,eia°r
(10.4.33)
^ = H[S+?* + S~e, p\
+ JAT(1 + N)[2S~pS+ - i(l + S,)p - ip(l + S,)] + \KN[2S+pS- - Kl - St)p - \p{ 1 - S,)].
(10.4.34)
480 Глава 10
величинами TrfpS* j, TrjpS.J, являющимися средними от соответствующих операторов. Для этих определяющих величин имеем следующие уравнения:
Данные уравнения детально исследовались Кармайклом и Уоллсом
[10.6]. Мы остановимся здесь лишь на некоторых вопросах.
а) Стационарное решение при е = 0 В этом случае
Полагая N = (ehj:/kT — 1) 1, мы получаем правильное распределение Больцмана.
б) Релаксация, зависящая от температуры
В отличие от гармонического осциллятора скорость релаксации пропорциональна 2 N + 1 и поэтому зависит от температуры. К существенному различию приводит также другая операторная алгебра.
в) Сравнение с температурой термостата
Используя соотношения (10.3.12) и другие связанные с этим формулы, оценим явно величины К, N,5,8'. Имеем
где символ / означает главное значение Коши интеграла, содержащего 1/П. Следовательно,
= -\K(2N + l)<S+> + ide<S,>
?<S-> = -\ЩМ+ 1 )(S-y - ide*(Sz)
? <S,> = -K(2N + IKS,} -K+ iirf(e*<S+> - ?<5->).
(10.4.35)
<S+> = <S-> - 0
(10.4.36)
{KN -f- iJ = h2 J dt e_i“o' j doj S(cu) (n(oJ, 7}) e‘“'.
(10.4.37)
0
0
Отметим справедливость тождества
J dQ J f(Q)e±ia‘ = vif(0) ± i j dQf(Q)lQ ,
(10.4.38)
0
\KN + i<5 = Kh2S(ai0) (n(co0, T)} + ih2 $ da> S(o))(n(a>, T))(a>—a>0)~1. (10.4.39)
Квантовомеханические марковские процессы 481
Аналогично можем записать $K(N+ 1) + i<5' = 7гй25(<и0)<л(<«0, Т) + 1>
+ iЙ2 f dco S(co)(n(co, Т) + 1>(а> - со0)~', (10.4.40)
о
что является более привычной формой выражения постоянных затухания.
Из этих уравнений находим
K=2nh2S(oj0) (10.4.41)
N = (п(со0, Т)) = [ехр (HcoJkT) — I]-1 (10.4.42)
_<5 + (5' = й2/dw S(co) (со - оо0)~1 . (10.4.43)
о
Отметим, что равенство (10.4.42) находится в согласии с (10.4.36), т. е. атом приобретает ту же температуру, что и термостат.
г) Стационарное среднее значение при ненулевом поле Решая уравнения (10.4.35), можно найти
<5 > =--------?2(2iV+-l)------- (10.4.44)
W*/ vin Лг , 1\2 I 9 J2 I „ I 2 v '
*2(2ЛГ + I)2 + 2d2\e\
<5+> <5 >* ^2^+ 1)2 + 2й?2]?|2' (Ю.4.45)
д) Связь со случайным телеграфным процессом: уравнения Эйнштейна
Когда Е (0 = 0, можно ввести величины
Р(+)= <+Ы+>
*»(-)= <-И->
и получить для них управляющее уравнение
д (Р(+) = -К( 1 + N)P{+) + KNP(-)
3,Р(~) = Л(1 + N)P(+) - KNP(-).
(10.4.46)
(10.4.47)
Эти уравнения идентичны уравнениям (3.8.5) для случайного телеграфного процесса. Таким образом, двухуровневый атом можно рас-
482 Глава 10
сматривать как квантовый случайный телеграфный процесс. Однако если Е (t) Ф 0, то эти уравнения зацеплены с уравнениями, определяющими недиагональные матричные элементы, что дает истинно квантовый процесс.
Уравнения (10.4.47) были впервые введены Эйнштейном [10.7] и известны теперь как уравнения Эйнштейна. Они наглядно показывают два эффекта:
1) вынужденное излучение и поглощение: члены, пропорциональные N, зависят от числа фотонов поля излучения и называются вынужденными членами. Таким образом, процессы возбуждения (— — + ) и снятия возбуждения (+ — —) с соответствующим поглощением или излучением фотона могут происходить вследствие наличия определенного числа фотонов в поле излучения;
