Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рь = SbaQ
при некотором а0, т. е. когда матрица р соответствует чистому состоянию.
10.2.1. УРАВНЕНИЕ НЕЙМАНА
Уравнение Шредингера для любого состояния имеет вид
Н\ц/) = ihd,\i//) . (10.2.17)
Можно вывести соответствующее уравнение для оператора плотности. В самом деле, из (10.2.3) имеем
д,р = ? Л,[(д, ivOXv'J + Iv'aXWv'J)]
а
= ^(Нр- pH).
Отсюда получаем уравнение
[Н,р] = \Лд,р, (10.2.18)
460 Глава 10
которое называется уравнением Неймана, или квантовым уравнением Лиувилля. Формальное решение данного уравнения имеет вид
p(t) = exp(—iHt/h)p(0) exp(itf//A). (10.2.19)
10.2.2. Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЛАУБЕРА — СУЦАРШАНА
Глаубер [10.1] и Сударшан [10.2] ввели представление матрицы плотности, известное теперь как /^-представление Глаубера — Сударшана. Предполагаем, что матрицу р можно представить в виде
р = j d2a Р(а,а*)\а)(а\, (10.2.20)
где Р(а, а") играют роль квазивероятностей. Вопросы существования этого P-представления мы пока не рассматриваем.
Заметим, что из равенств
1 = <а\а> = 2 <«|л)<л|а> ,
п
Тг{/?} = 1 = | d2a Р(а, а*) 2 <л|а><а|л> ;
п
тогда получаем
(10.2.21)
1 = [d2a Р(а, а*).
Более того, для любого нормального произведения (а+) га s имеем
Тг {(а+Уа'р) = Тг{а>(д+)'}
= f d2a Р(а, а*) ? <«K|a> <а|(в+)' |л> ,
и, следовательно,
<(d+)V> = f d2a(a*)rasP(a, а*) .
(10.2.22)
Таким образом, величина Р(а, а*) играет роль некоторой плотности вероятности для переменных а к а* в том смысле, что средние значения от нормально упорядоченных произведений квантовых операторов являются просто моментами, соответствующими плотности Р(а, а*).
Условия, при которых P-представление Глаубера — Сударшана существует, довольно проблематичны. Клаудер и Сударшан [10.3] показали, что оно всегда существует, если только допускать возможность достаточно сингулярных обобщенных функций, через которые выра-
Квантовомеханические марковские процессы 461
жается Р(а, а*). Конечно, оно не всегда существует как положительная или даже как гладкая функция.
Мы оставим на время эти вопросы. Заметим лишь, что ответы на них очень похожи на ответы, касающиеся существования различных представлений Пуассона.
10.2.3. ОПЕРАТОРНОЕ СООТВЕТСТВИЕ Известно, что
а I а) = а | а)
(а\а+ — а*(а\ .
Другой результат действия операторов а, а+ получим, если возьмем состояния Баргмана. Будем иметь
Следовательно, используя P-представление матрицы р, записанное в более удобном виде, а именно
Мы можем определить, таким образом, операторное соответствие между а+ и а* - д/да. Аналогичная формула справедлива и для оператора а. Учитывая предыдущие формулы, получаем такие оператор-
и
(10.2.23)
«+1к> = Z-?w« + 1 I п + 1>
п V ^ •
я
(10.2.24)
и аналогично
<а|1Я = да* <а|1
д
р = J ^2а||а)<а||е аа*Р(а, а*) ,
получаем простое равенство
а*р = J d2aS~ (||«>) <«||е аа* Р(а, а*) ,
" п ГУ
Интегрируя его по частям, находим,
а + р = §d2a\\a) <aj| е аа* |аг* — Р(а, а*).
(10.2.25)
462 Глава 10 ные соответствия:
ар аР(а, а*)
а+р (- - rJ Р(а, а*)
ра (-?) Р(а, а*)
ра+ <-> а*Р(а, а*)
(10.2.26)
10.2.4. ПРИМЕНЕНИЕ К ВОЗМУЩЕННОМУ ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ
Рассмотрим гамильтониан
Я = Псо(а+а + J) + (Ха+ + Л*а). (10.2.27)
Для него квантовое уравнение Лиувилля имеет вид
= /хл[а+а, р] + к[а+, р] + Х*[а, р]. (10.2.28)
Используя операторные соответствия (10.2.26), выведем отсюда уравнение для функции Р(а, а*). Так, будем иметь
а+ар — (а* - U аР (10.2.29)
-ра+а-------\а - ^) а*Р. (10.2.30)
[Заметим, что порядок операторов в (10.2.30) обратный, поскольку на
оператор р они действуют справа, в то время как на функцию Р они действуют слева.]
[а+, р\
ТаР-
(10.2.31)
Аналогично
1а,р]-^~Р, (10.2.32)
так что получаем уравнение
Киант ономсхаппческие марковские процессы 463
соответствующее уравнению Лиувилля. Но надо быть осторожным. Было бы заманчиво рассматривать а и а* как независимые переменные, но, строго говоря, это неверно. Используя все приведенные выше соответствия, следует в действительности положить
а = х + iy
а*
Л
да
д
да*
х — \у
‘М
(10.2.34)
Я = ti + iv.
В этих действительных переменных уравнение (10.2.30) примет вид дР
