Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 161

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 185 >> Следующая


Z, = Tr т. е.

ехр

kT

(rt rt + i)

= Еехр

кТ

7(т\- ехР(-^'/2 кТ)

' 1 — ехр(—Й со,1кТ)'

(10.3.5)

Полезной величиной является среднее число квантов <л((7)>, определяемое формулой

(п + {)hcot кТ

IZ,(T) :
Квантовомеханические марковские процессы 467

т. е.

(П1(Т)> = [expiHcoJIcT) - 1]-»

(10.3.6)

Другими величинами, которые будут полезны, являются корреляционные функции термостата. Для их нахождения введем

(i Янм _ 1 i Я„п

Г,(/) = ехрГ(ехр—-j = ехр (-ico,/) Г. Поэтому корреляционные функции термостата таковы:

<Л+(/)Гу> = е {ГГО = е1"" д'/МТ))

<гх/)гу> = <г,+(/)г;> = о

<Л(/)Г;> = е (ГГГ, + 3tj) = е ** Stj[(nt(T)y + 1].

(10.3.7)

(10.3.8)

10.3.2. КОРРЕЛЯЦИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ ТЕРМОСТАТА

Введем переменную

У(0 = ? strit) е!“о< (Ю.3.9)

(множитель ехр(/ш0О введен с целью последующего применения в разд. 10.4.2). Имеем

<Я0> = 0 <Я0Я0)> = <^+(Ф+(0)> = о

<Г(ОЯ0)> = 2 |5||*<Я|(Л> ехр[ i(co, - <Во)Г] (10.3.10)

<Я0>,+(0)> = ? |5,|2<«ХЛ + 1> ехр[— i (со, - й>0)г].

i

Предположим теперь, что моды, нумеруемые индексом /, расположены так близко друг к другу, что является гладкой функцией от i.

Тогда можно установить следующее соответствие переменных:

Si —> s(co,) — s(w) (10.3.11)

<л1(7’)> - (п(щ, Т)> - (п(ш, ТУ) и

2 U,l2( -)-*J^5H(...).

(10.3.12)

(10.3.13)
468 Глава 10

Для достаточно гладких функций (n(w, Т )>, S(w) корреляционные функции будут быстро (экспоненциально) спадающими функциями времени t. Например, рассмотрим корреляционную функцию

<V'+(<W°)) =] dco S(co)(n((D, Т)) exp[i(o — co0)t]. (10.3.14)

0

Если, как обычно, функция S(co)<«(w, Т )> является гладкой функцией от со, то ее преобразование Фурье (10.3.14) будет быстро спадающей функцией от времени t. Таким образом, корреляционная функция (10.3.14) должна иметь вид быстро спадающей функции от t, умноженной на ехр( —ico0o-

Это напоминает соотношение между корреляционной функцией и спектральной плотностью, представленной в разд. 1.4.2, но здесь вместо coswt мы имеем exp[i(w — ш0)/] и корреляционная функция является комплексной.

10.3.3. КВАНТОВОЕ УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ТЕРМОСТАТОМ

Покажем теперь, что к квантовой системе, взаимодействующей с термостатом, можно применять методы адиабатического исключения из разд. 6.6 с целью получения квантового управляющего уравнения. Используемый здесь метод преобразования Лапласа не является наиболее общим, но наиболее быстро приводит к довольно точному ответу.

Предположим, что система описывается операторами А, А + , которые могут удовлетворять произвольным коммутационным соотношениям, а термостат — операторами гармонического осциллятора Г( ,

г,+ .

Предполагаем, что гамильтониан представим в форме Н = у2#, + уН2 + Нг , (10.3.15)

где Нъ является функцией чилько от операторов А, А+ , а Н2 можно записать в виде

Нг = s (С*,/у + C+g,*rd, (10.3.16)

I

где С — функция от операторов А и А + . Здесь g: могут зависеть от времени. Гамильтониан термостата//, имеет вид (10.3.1), хотя это не очень существенно. Операторы системы и термостата коммутируют между собой и действуют в различных пространствах. Таким образом, если положить Н2 равным нулю, то

р = р*х Р, (10.3.17)
Квантовомеханические марковские процессы 469

И

(10.3.18)

и, строго говоря, нам следует писать А = 1 х А

г а , (10.3.19}

Г t = Г, х 1 ,

чтобы указать, что каждый из этих операторов действует в своем собственном пространстве. Параметр у введен для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что введенная процедура справедлива только тогда, когда переменные термостата меняются гораздо быстрее, чем переменные системы, и то, что для получения конечного предела нужно

считать, что функции g(- также должны становиться большими. Точное осуществление этого предела на практике зависит от знания подходящих переменных, которые становятся большими.

Тогда можно записать следующее уравнение движения для матрицы плотности:

Операторы Lt известны как операторы Лиувилля и являются линейными. Уравнение (10.3.20) имеет теперь в точности ту форму, какая необходима для применения техники адиабатического исключения. Остается только определить подходящий проектор. Выбираем проектор следующего вида:

где оператор р(Т) определен формулой (10.3.2) и под символом Тгв .мы подразумеваем след только по состояниям термостата. Полный набор состояний для системы плюс термостат можно записать в виде
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed