Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
dt
~ (coy + v/h) — (сох + n/h) ах ау
Р.
(10.2.35)
Это есть не что иное, как уравнение Лиувилля, эквивалентное следующим дифференциальным уравнениям:
dx
dt
dy
dt
— coy — vjh
COX + fijh .
(10.2.36)
Последние эквивалентны уравнению da
dt
i(toa + А/Й) ,
которое имеет решение a = -Я/Й«о + ceia" .
(10.2.37)
(10.2.38)
Предполагая детерминистические начальные условия, получаем решение для распределения Р:
Р(а, a*, t) = 5 (х — Re{— ~
\ I пы
5 [у - Im J- (10.2.39)
= Ъг(а + Я/ftw - ?е‘“"). (10.2.40)
Здесь комплексная дельта-функция понимается в смысле (10.2.39). Заметим, что параметр \ может зависеть от времени. В этом слу-
464 Глава 10
чае (10.2.37) принимает вид
^ = i[oja -f X(t)jh] . (10.2.41)
Решение этого уравнения таково:
a(t) = «(0) е‘“' + i /dt' eicoU~!,)X(t')/h , (10.2.42)
0
а соответствующее распределение Р определяется выражением Р(а, a*, t) = 52[л - «(/)] . (10.2.43)
10.2.5. КВАНТОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Преобразование Фурье от распределения Р(а, а*) дает обычную характеристическую функцию, подобную функции, введенной в разд. 2.6. Определим ее с помощью формулы
Х(Х, Я*) = J d2a ехр (Ха* - Х*а) Р(а, а*) . (10.2.44)
Заметим, что если а = х i у
X — n + iv, то
Ха* — Х*а = 2l(vx — у/и). (10.2.45)
Поэтому выражение (10.2.44) является преобразованием Фурье по двум действительным переменным. Возможна также такая форма записи характеристической функции:
Х(Х, /*) = Тг {р ехр(ла+) ехр(—Х*а)} .
(10.2.46)
Она может служить общим определением квантовой характеристической функции. Заметим, что для произвольного оператора А имеем
Tr [А] = S (п\А\п) = j'd2a Е <п | «> <« \А | п)
п п
= -Ь \d2a Е <« | А | п) (п | от) ,
п
т. е.
Тг(Л} = / d2a <аг | Л | а)
(10.2.47)
Квант овомеханические марковские процессы 465
Используем теперь формулу Бейкера — Хаусдорфа [10.4]. Для любых двух операторов А и В, таких, что их коммутатор [А, В\ коммутирует с ними обоими, можно записать
ехр(Л + В) = ехр(Л) ехр(б) ехр(— \[А, Д]) = ехр(Д) ехр(Л) ехр(?[Л, В]).
(10.2.48)
Замечая, что
[Ад+, —л*а] = | А |2, мы видим, что
ехр(Аа+) ехр(—л*а) = ехр(—к*а) ехр(Аа+) ехр( j А|2).
Следовательно,
Тт{р ехр(Аа+) ехр(—А*а)} = ехр(|А|2)Тг{/?ехр(—А*а) ехр(Аа+)}
= ехр([А|2)Тг{ехр(Аа+) р ехр(—А*<з)}
= J (i2a<a|exp(Aa+) р ехр(—А*д)|а>.
Таким образом,
/(А, А*) = СХГ>(7|/'4 ^ J d2a ехр(Аа* — А*а)(ос\р\а>
Поскольку
<а | р I а) >0
(10.2.49)
(10.2.50)
Тг {/?} = ^ J d2a (а\р\аУ = I ,
(10.2.51)
выражение (10.2.49), умноженное на ехр (— IXI2), является преобразованием Фурье функции <alpla>/x, удовлетворяющей условиям, накладываемым на функцию вероятности. Следовательно, изображение Фурье х(^, Х*)ехр(— IXI2) является характеристической функцией распределения <alpla>/x и, согласно разд. 2.6, полностью ее определяет.
Из разд. 10.1.2 мы видим, что функция <alpla> определяет оператор р. Следовательно, функция х(Х, X*) также определяет оператор р.
10.3. КВАНТОВЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Изложим теперь упрощенную форму квантовой теории затухания. Для этого требуется некоторое знание квантовой статистики.
466 Глава 10
10.3.1. ТЕРМОСТАТ
На практике затухание происходит из-за того, что система взаимодействует с другой очень большой системой, известной как термостат, в которую диссипирует энергия системы. Однако при этом возникает шум, поскольку термостат возврашает некоторую часть энергии обратно в систему.
В качестве модели термостата рассмотрим большое количество независимых гармонических осцилляторов с операторами Г и гамильтонианом
Яв = 2 + i). (10.3.1)
i
Эта система обладает стационарной матрицей плотности, в качестве которой может быть взята любая положительная функция от гамильтониана Нв. Статистическая механика позволяет выбрать канонический ансамбль, для которого оператор плотности имеет вид
р(Т) = ехр(— HJkT)/Tr{exp(-HJkT)}, (10.3.2)
где Т — температура термостата. Очевидно, что [Яв, р(Т)} = iЬд.р = 0 .
(10.3.3)
Поскольку гамильтониан (10.3.1) представляет собой сумму коммутирующих между собой членов, можно записать
р=Пр?П, i 1
где
р,(Т) = ехр
ехр
ho),
kT
(ГТГ, + i)
(10.3.4)
Обозначим далее hco,