Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подстановка (6?) в (66) приводит к сверткам операторов SM"V с s't?v и s-x% при различных сочетаниях S = + 2 и s'=±2. Учитывая явные формулы для этих операторов (26), (27), (64), (65) и правила коммутации (4.39) — (4.42), можно доказать соотношения [113]
4
^^^^-^ХІХІХІ, = (67)
а также установить обращение в нуль диагональных комбинаций
т** = О, _aM"v_2т&* = 0. (68)
Преобразование двух оставшихся комбинаций операторов значительно сложнее. Для наших целей, однако, достаточно рассматривать операторы на множестве решений уравнений для потенциалов Дебая и использовать эти уравнения для понижения порядка операторов. В результате громоздких вычислений получаем
i^^.fSv ±2S* = ±3?2р~Ч ±2Е*, (69)
где W2 — невозмущенное значение проекции тензора Вейля. С помощью (67)—(69) и с учетом коммутативности операторов SDn и Ss находим два соотношения между ^0 и г|з4:
^-!^0^1^0—4250^4= (70)
и
XtxXtXtХІ (P-4^4)- yA2#A2t== - 12р-'ВД^- (71)
4
Эти соотношения справедливы в вакуумной области (где Tvv=0). В отличие от их электромагнитного аналога (5.27j), (5.28) они не являются линейными, так как содержат антилинейные члены в правых частях. Приведем также выражения для проекций тензо- § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
77
pa Вейля четных возмущений через потенциал Дебая:
^4= Y —f- (72)
Потенциалы Дебая для S =+1
Аналогичный метод применйм и к электромагнитным возмущениям. Исходя из уравнений Максвелла, записанных через вещественный 4-потенциал
JlvvAv=Anjv, (73)
где оператор
Utliv=SlivVxVx-'VllVv, (74)
и используя проекционные операторы st" (s = ±l), дающие источники в уравнениях Тьюкольского (5.2Г), (5.23),
Ot=I TuZli, 2І=-ітй/ц, (75)
получим уравнения
SivJt^Av= AnsTv.?. (76)
Явный вид операторов вытекает из соотношений (5.22), (5.24):
Ittl=-I- (®оTnv, + -A- XtptU ) f- (77)
=T (т 7Г "F • (78)
Далее строим операторы SMV, выражающие тетрадные проекции максвелловского тензора через вещественный 4-потенциал,
^=SMVA\ Фо = Щ>, Ф2 = р-2-ігр, (79)
проектируя равенство Fvv= 2Л[,-;|1] на векторы изотропной тетрады
(^,{9')-^ +-L-Xtl^y (80)
=-j Р* (^stpml-V2 X0Znv). (81)
Переставляя операторы в левой части (76), выделяем справа вектор, после чего слева остается скалярный оператор второго порядка [113]
,TMfliv=-AsnsMv, (82) 78^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
где В явном виде
iD =P (A25xp-2®f + JZo+P-2JZ1) Р, (83)
-і ? = P (Д?о+р-2??о + XoP-2Xt) р. (84)
Таким образом, из уравнений Максвелла для А" (73) мы снова получаем уравнение Тьюкольского. Применим теперь к операторному тождеству (82) операцию сопряжения *. С помощью интегрирования по частям нетрудно убедиться в том, что у оператора Jriiv при этом изменяется порядок индексов:
o*?v = o*vtl (85)
(заметим что оператор Jtvv симметричен по индексам лишь на множестве скаляров). С учетом этого равенство (82) в результате сопряжения приобретает вид
o«vtl sT^=sM?sD*2, (86)
и, следовательно, для любого решения _sE уравнения (47) с S = ±1 комплексный 4-вектор
s^=st**_sS (87)
будет удовлетворять уравнению (731) при /'"=0. (Уравнения (5.38), (5.39) для потенциалов Дебая в in и out-калибровках совпадают с (47) при s=l, 2 соответственно.) Явные выражения для операторов таковы:
Xх? = (Р*)-1 [^tT IpXi + Р*'> (88)
-itf ~ (Р*)-2 (/2 HtiXt- P-X®?) P*- (89)
Вещественная и мнимая части комплексного вектора (87) дают четные и нечетные возмущения поля при условии, что потенциал Дебая удовлетворяет соотношению (60). Формулы (5.35), (5.36), (5.51), (5.52), выражающие Ф0 и Ф2 через потенциалы Дебая, а также перекрестные соотношения (5.27), (5.28) получаются подстановкой вещественной и мнимой частей (87) в выражения для соответствующих полевых функций при учете легко проверяемых соотношений
iM» = SDh = -і- xtxt;
-іМ» Xх? X0Xі, -XM» = -L д с/+2.
(90) § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
79;
Все аналогичные свертки sMa с комплексно сопряженным опера-
VS*
тором 5Тц тождественно обращаются в нуль, что отличает случай электромагнитных возмущений от гравитационных.
§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Уравнение Тьюкольского
Операторы <;?, входящие в уравнения (6.93), (6.94) для электромагнитных и (6.33), (6.34) для гравитационных возмущений поля Керра с учетом коммутаторов (4.39) — (4.41) и явного вида 4F2 (1.50), принимают вид
s ? = 30Д'-s^As + XtsXs + 2 (2s -1) (Р'Г1 dt, S > 0; (1)
f? = + Xi+sXts + 2 (2s + 1) (PT1 д„ s < 0. (2)
Если ввести вместо оператора Даламбера для безмассового скалярного поля оператор
„? = -Sv^vtl = -J (230Д 3)t + 5)о"А®0 + Xtx0 + X1Xt), (3)
то всю совокупность волновых уравнений для возмущений ПОЛЯ Керра безмассовыми полями различного спина сведем к единому уравнению
sDsi|)=—AnZsT, s = 0, ±1, ±2, (4)
где olf—— скалярное поле,
Лнф0, _іф==р-2ф2, яф = ф0, _2Tf) = P-4IjJ4 (5)
и источники имеют вид
0Т = Т1 ±17 = ±1т%, ±2Т=±^vTtlv. (6)
Подставляя явные выражения для операторов (4.34) — (4.37), получим уравнение, построенное впервые Тьюкольским [91 для Isl = = 0, 1, 2, 1/2:
