Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КЕРРА
ностью описываются этими величинами (с точностью до добавок к массе и моменту вращения черной дыры) [110], точно так же, как бестоковые возмущения электромагнитного поля полностью (с точностью до изменения заряда дыры) описываются скалярами Ныомена — Пенроуза Фо и Ф2 [111]. Широкий круг физически интересных задач требует нахождения функций, описывающих полевые возмущения вне области сосредоточения источников этих возмущений. Для этого необходимо построить решения разделенных уравнений с источниками в полной области, а затем выразить через них возмущения всех интересующих нас полевых величин вне области локализации источников. В этом смысле можно свести задачу к отысканию функций Грина, позволяющих находить возмущения метрики, создаваемые распределением материи в некоторой компактной пространственной области, всюду вне этой области. Эти возмущения будут выражены непосредственно через тензор энергии-импульса материи [98, 113]. Предварительно обсудим подробнее свойства метрических возмущений в вакуумной области.
Вакуумные возмущения метрики
Прежде всего необходимо выразить тетрадные проекции и % тензора Вейля через возмущения метрики. Для этой цели удобно воспользоваться формулой [42] для вариации тензора Римана
O^HvVr = ft[vkn];T + ftn[t;v;A,] + 2і?(ца»,т/і?)> (22)
где в правой части символом Ri1iax обозначен тензор Римана н'е-возмущенной метрики Керра. Возмущения тензора Риччи и скалярной кривизны будут при этом равны
&R?V — ftfn;v);J,--— ftHV-X--— ft;n;v> (23)
л. Z
бя =Cv-ftIti, (24)
где поднятие и опускание индексов Iillv производится с помощью метрического тензора gvvK фоновой метрики Керра и /г=/гйц. Подставляя (22) — (24) в (12) и учитывая, что для метрики фона Rvv=R = 0, после проектирования на векторы невозмущенной изотропной тетрады найдем
1)50 = J8MlivV. Р-Ч4 =^2MlivV (25)
где введены операторы
-L Р* {-LzLztplW + ЗДот^Р*-1 +
(26) § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
71
- (Д®±,Р*2^ + j?_1Ap'2®±,)(p')-1n<i*m*v) j P-2P*-1 - (27)
Эти выражения справедливы при произвольном выборе калибровки потенциалов Ziiiv.
Произведем теперь аналогичное разложение в уравнениях Эйнштейна (1) для полного гравитационного поля
^v--у ^w? = SnTliv. (28)
Подставляя выражения (23), (24) в (28), получим следующее линеаризованное уравнение для Iiliv:
І^hu = SnTlivt (29)
где введен дифференциальный оператор второго порядка
^nvXx = 1 /2 [g(nxVxVv) + &<h*,VtVv)) — &vtV(nVv) —
— &nvVaVt) + {gvLvgu—&<hx?v)t) VaVa]- (30)
удовлетворяющий соотношениям симметрии
$HvVt =^vnXx-= ^hvtV (31)
Если подействовать на правую часть (29|) операторами ±2x"v (18), (21), то получим источники T0 и T4, входящие в разделенные уравнения (16) и (19) для величин Ip0 и гр4. В левой части уравнения (29) при этом возникают дифференциальные операторы четвертого порядка. С другой стороны, если в уравнениях (16) и (19) выразить Ip0 и Ip4 через Iiliv с помощью соотношений (25), то также будем иметь дифференциальные уравнения четвертого порядка. Можно предположить (и это действительно подтверждается вычислением), что возникающие дифференциальные операторы будут совпадать по крайней мере на множестве решений линеаризованных уравнений Эйнштейна в пустоте, т. е.
S^IllVh = —(32) где S = ±2 и символом sD обозначены операторы
= P3 + A®iP-*®f) Ps + (33)
=P3(i?-ip-eJ?2" + A?±ip-e®o)P3 + 62?2. (34)
Таким образом, мы снова получаем уравнения Тьюкольского (16? и (19) для гро и гр4 в форме 72^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
S Ds^='- 4я2Л\ S = ±2, (35)
где следует положить
2^=?,; =P-^4; sTp=sM^h?v. (36)
Наша цель — отыскание возмущений метрики в терминах величин, для которых возможно получение разделенных уравнений. Возможный путь к решению этой задачи подсказывает операторное равенство (32). Чтобы выразить решение уравнения для Ziliv через решение другого уравнения для некоторой скалярной функции, достаточно перейти к сопряженному операторному равенству, определив эту операцию так, чтобы оператор гравитационных возмущений являлся самосопряженным. Покажем [112, 113], что этим свойством обладает операция сопряжения относительно скалярного произведения в пространстве симметричных тензоров с компонентами "'1V принадлежащими классу функций L2(R4). Введем для двух тензоров одинакового ранга скалярное произведение согласно формуле
(Г, rp) = I ... ,у' • /=Jd'x. (37)
Рассмотрим оператор превращающий тензор ранга k
1 ••• fe
cpv' "'Vfe в тензор того же типа ранга п, ^= Ж -<р
^h1... = ^h1 ... у,... vfe (38)
Оператором Ж®, сопряженным к Ж в смысле скалярного произведения (37), назовем оператор, задаваемый соотношением
(ій^,ф) = ^,І(р), (39.)
или, в компонентной форме,
J (<< ... Vfe • Hh1 ... н„)V - VkV-g d*x =
= J ^H1... и„ С Z V^vi - "*V=gd*x. (40)
Очевидно, что для двух операторов Ни I1 таких, что определена их композиция H-ЛИ , т. е.
JV^ -h о^'-"^n H1 ... HnwV1 ... Vfe
(«выходная» валентность M и «входная» валентность H, очевидно, для этого должны совпадать), операция сопряжения произведения приводит к произведению сопряженных операторов в обратном порядке
