Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(ИМ)* =M*-И*. (41) § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
73
Простейший оператор умножения на комплексное число при операции сопряжения переходит в комплексно-сопряженный, т. е.
= г'. Оператор ковариантного дифференцирования является антисамосопряженным уи = — Vn> поскольку
J Ф* (V1Hti) VzzSdH = f ф* (V=gA»Ud*x =
q q
= AvV^gdSll - Uyll^) A^ V^=JdH (42)
да а
(интеграл по граничной поверхности исчезает для рассматриваемого класса функций). Аналогичным образом нетрудно установить правила сопряжения для операторов (4.34) — (4.37):
Xf =--l-Xt-sZ, (43)
®? =--l~2)-nZ. (44)
С помощью повторного интегрирования по частям можно показать, что оператор IT11VU (вещественный) при сопряжении переходит в аналогичный оператор с переставленными индексами
^Hvta =^Xthv- (45)
Это соотношение и является основным элементом схемы построения возмущений метрики Zillv. Применим операцию к операторному равенству (32). Учитывая (41) и (45), будем иметь
Suhv^v = -А (46)
Введем в рассмотрение комплекснозначные функции s3(x), подчиняющиеся уравнению
sD*^--s3 = 0. (47)
Можно утверждать, что если SE — решение уравнения (47), то величина
SftHV = StHV -S S (48)
удовлетворяет соотношению
-W^v=O, (49)
т. е. линеаризованным уравнениям Эйнштейна (29) при Tliv = O. Действительно, сказанное непосредственно вытекает из оператор- 74
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КЕРРА
ного равенства (46) применительно к функции sS, удовлетворяющей (47).
Покажем теперь, что оператор Тьюкольского SD при сопряжении переходит в оператор
=S-1^DeS. (50)
Чтобы в этом убедиться, достаточно применить операцию ^ к (33), (34), учитывая правила сопряжения (41), (43), (44), и сравнить полученный результат с (50). Таким образом, оператор sD^ фактически не является новым и уравнение (6.47;) можно записать с помощью операторов Тьюкольского (33!), (34), используя комплексное сопряжение
sDsE* = 0. (51)
Итак, имея решение однородного уравнения Тьюкольского, можно построить решение линеаризованных уравнений Эйнштейна (49) в виде (48). Величины sS, таким образом, играют роль потенциалов Дебая для возмущений метрики. Альтернативное построение потенциалов Дебая для гравитационных возмущений было дано в работе [106]. Два значения S= ±2 в (48) соответствуют двум различным калибровкам гравитационных возмущений h^v.
Получаемые с помощью соотношения (48) величины ±2Iivx комплексны, однако в силу вещественности оператора Sv^x действительная и мнимая части (48) удовлетворяют в отдельности линеаризованным уравнениям Эйнштейна без источников. Можно показать, что действительная и мнимая части (48) описывают четные и нечетные относительно пространственных отражений возмущения метрики. Введем оператор пространственной инверсии I, действие которого на некоторую функцию f от координат выражается равенством
If(t, г, Є, <p)=f(t, г, л—Є, ф+я). (52)
Метрика Керра является четной относительно пространственных отражений, т. е.
Ig„=g*J. (53)
Нетрудно установить следующие правила коммутации оператора / с векторами невозмущенной тетрады Киннерсли:
[/, *•]=[/, п*] = 0; (54)
Ш=—т*»1, (55)
а также соотношения коммутации I с операторами Ss
[12) „]=0; (56)
(57) § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
75
и, наконец,
/р = р*/. (58)
Используя эти правила, находим
/,?*=(*?*)*/, (59);
и поэтому решение уравнения (47) можно выбрать так, что при инверсии координат оно перейдет в комплексно-сопряженное
Кроме того, и, следовательно,
Таким образом, вещественная и мнимая части комплексных потенциалов
^ = T (Л) (stfv-sSWiGxJv-.sшу) (63)
определяют четные и нечетные возмущения метрики (множитель (—l)s введен в (60) для унификации с описанием электромагнитных возмущений).
Явные выражения для операторов st?v получаются с помощью (43), (44)
2t?v = - UJ^P2X1 (PTiX2 + 2m>;p*2J0 (PTiS)0 + + K2"/(X)P*P_1 (X2P2 (PTiS)0 + Sl0P2 (PV4JZ2)] P*3, (64) -2T?v = [ - Vv (Р*)-1^+ (PTi-Xt—т^ (P*)_1P2So~ (р*)"~4,®о~А2/4 + + n(llmv)S (Sitp2 (PTiXt + XtP2 (РTiSlt) NV2 \ р*з. (65)
Они дают возмущения метрики в іп-калибровке при s = 2 и out-калибровке при s =—2.
Соотношение между Ifo и If4
В силу калибровочной инвариантности тетрадных проекций тензора Вейля подстановка shvv в (24) должна давать одинаковые результаты. Это условие, с одной стороны, налагает связь на потенциалы Дебая ±23, а с другой — позволяет получить соотношение между Ip0 и i|)4, аналогичное соотношению (5.27) для электромагнитного поля. При выводе этого соотношения следует иметь в виду, что в формулы (25) необходимо подставлять физические (вещественные) возмущения метрики, а не комплексные потен-
IsS= (— l)ss3*. (60)
/,X*= (-1)'Gt*)*/ (61)
Ish^=(sxt-sEY. (62) 76^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
циалы. Это можно сделать с помощью разбиения на четную и нечетную части
|s| = is') = 2. (66)
Если в этом соотношении, куда могут входить различные комбинации S и s', приравнять правые части при фиксированном s и различных s', то получим соотношение между потенциалами Дебая ±23. Если же в нем зафиксировать s', получим величины ±2i|), выраженные через один потенциал Дебая, что и дает искомое соотношение.
