Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р2%р-2Фі + Yf і?іРФо = -2я it, (17)'
YY руяїр-Щ р'^рф,=2я jm, (IB)-
Р»оР^Ф2 + Y~ P3JZ„р-2Фі = - 2я/т., (19)
-Jf- pp\Stfp-»<I>s - A PV3S^P2O1 = 2я/„. (20)
Замечательным свойством этой системы является возможность получения разделенных уравнений для величин Ф0 и Фг [9]. В самом деле, из определений (4.42) — (4.45) следует, что операторы и S7s+ коммутируют между собой (то же относится к парамі S 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
61
St Ss и т. д.); это позволяет исключить из уравнений (17) и (18) величину Фь Подействуем на правую и левую части (17) оператором _
У2 РуXtp-*,
а на обе части уравнения (18) — оператором
2p2p*iZ)oP~2(p*)-1
и затем вычтем первое уравнение из второго. При этом члены, содержащие Фь взаимно уничтожатся, и мы получим уравнение для Ф0
р (А®ор-а^ + Xtp-2X1) РФ0 = 2лt0, (21)
источник в правой части которого имеет вид
t„ = V2 (Xtp-2Ji + V2S)oP~2 (Р *)-*Іт). (22)
Аналогично, действуя на обе части (19) оператором
Др4р*-®ор-3,
а на (20) — оператором У2 рАр*3'ор~3(р*)-1, после сложения полученных уравнений найдем уравнение для величины Ф2:
р (X0P-2Xt + ASDtp-3Z0) р-хФ2 = 2ш2 (23)
с источником
i, = V2(X0p-3 (р*)-V„ + Д®о+р-3/». (24)
При выводе уравнений (21), (23) были использованы легко проверяемые соотношения, вытекающие из (4.39), (4.40):
р2)пр-2®пр = 2)п2)п, (25)
pxsp-2xs+1p=xsxs+1 (26)
(в которых любой из операторов можно также заменить на соответствующий оператор с крестом, а р на р*).
В области, где /" = 0, между величинами Ф0 и Ф2 существуют соотношения, которые можно получить, исключая Фі из других пар уравнений, входящих в систему (17) >—(20). Применим к (17) оператор
\/V2p3X0p-2,
а к (19) — оператор
р30ор-3. 62^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
Вычитая полученные уравнения, снова исключаем Фі и находим соотношение между Фо' и Ф2
1/2&<&іФо=2>о&ор-2Ф2, (27)
которое справедливо при отсутствии источников. Аналогичным образом, действуя на (18) оператором
Д0о+«5-2(Р*)Л
а на (20) — оператором
У2 S7O+P-8 (Р*)-1
и затем складывая полученные уравнения, с учетом (25) найдем
A/2S>o+S)o+A®o=S7o+5,i+®2p-2. (28)
Уравнения (21) и (23) допускают полное разделение переменных, и их решения можно построить с помощью функций Грина. После отыскания Фо и Ф2 третья неизвестная комплексная функция Ф[ может быть найдена либо непосредственно из системы (17) — (20), либо с помощью потенциалов Дебая (см. ниже). Как видно из формул (17) — (20), функция Фі входит всюду с множителем р-2, причем на произведение р~2Фі всюду действуют операторы дифференцирования. Поэтому ясно, что существует решение однородной системы уравнений Максвелла (/" = O) вида
Фі = —ер2/2; ф2=ф0=0; e = const, (29)
^которое описывает собой кулоновское поле заряда е в метрике Керра. Действительно, интеграл по бесконечно удаленной сферической поверхности
— ф F0Vs sine M dtp= —2 (j) CD1/-2 sin 6 de dtp = 4яе. (ЗО)
Г~* CO r-KD
Таким образом, к решению неоднородной системы (17) — (20) можно всегда добавить кулоновское решение (29), коэффициент є в котором можно найти, вычисляя интеграл вида (30) для полного решения.
В случае метрики Шварцшильда (а = 0), учитывая, что р = =р* = —г-1, из системы (17) — (20) можно получить отдельное уравнение и для функции Фь Действуя на обе части (17) оператором A/riZ)i+, а на (18) — оператором ~)j2&\, после сложения полученных уравнений найдем
(№tS>0 + JZi-SfoV2(I)1=-^m1, (31)
где источник в правой части имеет вид
r (A^it+ VZX1Im). (32) S 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
63
Переменные в этом уравнении разделяются, поскольку оператор в левой части представляет собой сумму членов, один из которых не зависит от 6, другой — от г.
Обратимся к описанию энергетических характеристик пробного электромагнитного поля в пространстве времени Керра. Выражая тензор энергии импульса
S -L (FiiuF) + FiixFxv) = Re SV^v (33)
через самодуальный тензор ^Ftiv, записанный в форме (3), и учитывая соотношения (1.41) и (1.43), получим представление Ttiv через скаляры Ньюмена — Пенроуза
Tliv = 1/2я ¦ Re [ IФ01 aZillZiv + 21 (P112 (/{|1гц,> + т^гтС») + + |Ф212Уу—40^(^)-40^/(^) + (34)
В области, где нет источников, тензор энергии-импульса удовлетворяет условию консервативности (4.12), которое, как и в случае скалярного поля, позволяет сформулировать законы сохранения энергии и проекции углового момента на направление оси симметрии метрики Керра.
Потенциалы Дебая
В работе [105] было показано, что решения уравнений Максвелла без источников в вакуумных пространствах типа SD могут быть построены дифференцированием функций, выполняющих роль дебаевских потенциалов. Существуют два типа таких потенциалов, причем уравнения, связывающие поля и потенциалы, а также уравнения для самих потенциалов получаются друг из друга с помощью замены Iii «-> пР, тт*>\ Попутно можно получить удобные формулы и для возмущений 4-потенциала электромагнитного поля Av-. Здесь мы дадим вывод уравнений для потенциалов Дебая, отличный от [105], основывая построение на коммутативности операторов Ss и SDn (а также других пар такого типа из (4.34) — (4.37) между собой. Рассмотрим соотношение (27), связывающее функции Ф0 и Ф2. Это соотношение можно превратить в тождество, полагая
