Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
^(лО-^Й-'МгНл:), (5)
то, как легко проверить, уравнение вида
(VliVli--j- R) Ф W = O (6)
будет сохранять свой вид при конформном преобразовании [85, 86]. Небезынтересно отметить, что даже если изначально не вводить неминимальный член lIeR в уравнение для скалярного ноля, то он все равно появится из-за радиационных поправок в квантовой теории скалярного поля с самодействием в искривленном пространстве-времени [8'7Ц.
Вводя для общности численный коэффициент I перед членом, пропорциональным кривизне, запишем действие для вещественного-безмассового скалярного поля в виде
S= + X j*X^2Vlh\d*x, (7>
M " • ' ' дМ
где второй интеграл берется по границе дЖ многообразия Ж, а лагранжиан имеет вид
(ё==0 соответствует минимальной, а | =1./6 — конформно-инвариантной связи с гравитационным полем). Добавление второго (граничного) члена в действие (7), в котором интегрирование ведется по границе многообразия (A = det hi,-, h;j — индуцируемая на границе метрика, % — след второй фундаментальной формы на границе), необходимо для возможности использования (7) в. качестве действия материального поля при получении уравнений Эйнштейна. Причина в том, что в выражении для скалярной кривизны R имеются члены, линейные по вторым производным от метрики, и при варьировании действия по g^v будут возникать поверхностные члены, пропорциональные производным от вариаций g„v, обращение в нуль которых заранее не требуется. Для компенсации этих вкладов в действие для гравитационного поля необходимо ввести поверхностный член [88] § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
49
и аналогичный член в действие для скалярного поля (7), поскольку лагранжиан (8) также содержит R [138, 139].
Варьирование действия (7) по if приводит к уравнению
W 4^-7?^(«"?)~т- <9)
В случае вакуумных и электровакуумных метрик скалярная кривизна R равна нулю и уравнение (6) имеет одинаковый вид: для полей с минимальной и конформной связью. Однако метрический тензор энергии-импульса зависит от g [15, 16, 86] и в случае
Rlft=O:
тГр)= 2 ао^) ' [_LM,a +
V—а а^ 4я I
V-g dg' і
2
2 R-AaVa) Г\ +UR^-VtfJr(Ю).
След метрического тензора при выполнении уравнения поля (9) равен
т(«етР) = Upl (фівф.в + HPtyt (11)
4я
он обращается в нуль в случае конформно-инвариантной связи, 1=1/6. Заметим, что метрический тензор не совпадает с каноническим при 1=5^0 из-за наличия производных от метрики в лагранжиане (8).
Законы сохранения
Как и следовало ожидать, в силу уравнения (9) ковариант-ная производная от тензора энергии импульса равна нулю
VvTllv = 0. (12)
В искривленном пространстве-времени из (12), вообще говоря, не следуют законы сохранения для каких-либо величин. Это неудивительно, поскольку законы сохранения возникают при наличии пространственно-временных симметрий, которые в искривленном пространстве-времени общего вида отсутствуют. Если же имеется симметрия, выражающаяся в существовании векторного поля Киллинга то соответствующий закон сохранения действительно вытекает из уравнения (12). В этом случае равенство нулю ковариантной производной сводится к равенству нулю обычной производной от векторной плотности
= V^gvAT11X) = V=g(%>vJ*» + гта = О, (13) 50^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
где второе слагаемое в нижней строчке исчезает в силу симметрии Tvv и антисимметрии |(„;v).
Чтобы получить из (1?) закон сохранения для случая черных дыр, рассмотрим четырехмерную область Q в виде коаксиального цилиндра с осью вдоль t и боковыми поверхностями dQ,+ и dQ«,, лежащими на горизонте событий и пространственной бесконечности соответственно. Пусть Si и 5г — сечения цилиндра плоскостями t = t\ и t=ti>U. Тогда, интегрируя (13) по области Q и используя теорему Гаусса, будем иметь
° = J Vc^dSv, (14)
да
где замкнутая граница OQ состоит из четырех частей
= ^Q4-UdQ00 U S1U S2 (15)
и элемент интегрирования должен иметь внешнюю нормаль. Обозначим интеграл от <S» по времениподобной гиперповерхности S .с нормалью, направленной в будущее, через
«(S) = J S^dS11. (16)
s
Тогда равенство (14) можно представить в виде соотношения
g (S1)-S(S8)= j ^dSli+ j ^dSlit (17)
dQ+ SO00
!выражающего изменение величины <!Г за время от t\ до (в (17) учтено, что внешняя нормаль к Si направлена в прошлое) в терминах соответствующих потоков через горизонт событий и бесконечно удаленную поверхность. Если интегралы в правой части (17) равны нулю, т. е. такие потоки отсутствуют, то величина S не зависит от времени ^f = const. В общем случае соотношение (17) позволяет выразить изменение величины S внутри области вследствие поглощения черной дырой и ухода на бесконечность. При вычислении интеграла по поверхности горизонта событий вместо координаты t следует выбрать «время» в системе координат, не сингулярной на горизонте, например (у, г, 8, Ф}. Тогда элемент поверхности dS^ горизонта с нормалью, направленной внутрь, можно записать в ковариантном виде [89]:
KizIdSu = Ssine dS? = 4 (4 + о2) sin0 dd йф dv =
= ^(г++ оа)sine de dydt, (18)
