Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Е = =jTTe 1--(1—о»о) —;-;-г-- (63)
Ml Го 4 "'J ш|(1—аш|) — Из условия ^llvWUv= 1 имеем
Юо (g33 —glsy"2) + 2 (I)0 (^03—^оо^ззї-2) + ^oo (1 —Y~2) = 0, (64) откуда при Y^l
C00 = Q0 +VL Qg; Q0= Wa^Vbr0 (65)
0 0 — 2у* 0 t\ + aV0 + 2 Ma2 V '
Подставляя (65) в (63), нетрудно видеть, что у^> 1 либо в случае, когда знаменатель (63) стремится к нулю при Wo = Qo, что соответствует фотонной орбите (16), либо в случае е^>1, т. е. когда сила Лоренца является основной (ларморово вращение). Таким образом, хотя при аф0 уже не удается выразить энергию как функцию радиуса орбиты в явной форме, из этих рассуждений следует, что вращение дыры не изменяет качественно характера ультрарелятивистских орбит заряженных частиц по сравнению со шварц-шильдовым случаем. § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
41
Малые колебания около круговых орбит
Перейдем теперь к описанию орбит, близких к рассмотренным выше круговым орбитам. Одновременно решение этой задачи дает ответ на вопрос об устойчивости круговых орбит. Рассмотрим малые возмущения
Г (S) = Xil (S)(S) (66)
около круговых орбит z»(s)=u°(s, 0, 0, WoS). Проводя в уравнениях движения (59) разложение по Ili, перенося нелинейные члены в правую часть и переходя от параметра s к t=u°s, имеем
+ ^ = ^(5), (67)
dt* Ха dt дха к ' v '
а= 1, 2; ха=(г, 0),
где учтено, что координаты t и <р циклические. В этой формуле
YS=^lVj-^)("0)
—1
9= — 2
dU>X 10 ' - '-^-I--L Pb/*/«04-^
(68)
дха 2 дх? \ ц
YX (Ue)-1--FSfia (и0D
9=1Г
Г—Г о
причем подстановка 0=я/2, г = г0 в (68) должна проводиться после вычисления производных от величины, стоящей в скобках (индекс нуль у величины го далее опускается). Символом ЛА* в правой части (67) обозначены все нелинейные по Ili члены, входящие в точное уравнение движения.
При малых Ili решение уравнений (67) можно искать методом последовательных приближений. В линейном приближении (N = = 0) будем иметь систему однородных линейных дифференциальных уравнений, два из которых (ц = 0,3) не содержат членов без производных
+ = A = O, 3. (69)
dt* п dt
Поскольку величины уіл являются функциями только г и 0 и принимают на невозмущенной траектории постоянное значение, можно проинтегрировать (69), выразив производные от возмущений временной и азимутальной координат через возмущение координаты I1
^r= -YfS1. (70) "42
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Учитывая соотношение (70) в уравнении (67) для jx = 1, получим отдельное уравнение для возмущения Iі:
JUL it2
+ 0)^ = 0,
(71)
описывающее свободные радиальные колебания около круговых орбит. Частота колебаний определяется из соотношения
<Hi
дт
дг
-YjiYf
(72)
(где подразумевается суммирование по значениям Л = 0,3). Условие COr2>0, очевидно, является условием радиальной устойчивости круговых орбит. Заметим, что в рассматриваемой системе координат и при сделанном выборе параметров радиальные колебания сопровождаются осцилляциями азимутальной и временной координат согласно соотношению (70). Именно если
то
I1 = I10 Shl(tD^+o),
Sil = Sotf tor1 COS (a>rt + 6).
(73)
(74)
Колебания в направлении 0 (т. е. аксиальные) описываются уравнением (67) при ц=2 (при этом 1Y2(I-O)
<РР di*
-«№ = о,
где частота определяется формулой
диг
(uf =
ае
(75)
(76)
Условие СОе2>0 определяет область устойчивости круговых орбит относительно возмущений, выводящих частицу из экваториальной плоскости.
Подставляя в формулы (72) и (76) явные выражения для символов Кристоффеля и компонент максвелловского тензора поля Керра — Ньюмена (1.5), (1.7), получим [76]:
со-
,2 —
C1AM
-40)202
Mr-
Q2
2асо0
CMq Ж
+
5Q2
За2
4аш0
0)2 = о)2 C2
4 Мт-
-2 Q2)]
г» ' с )
(2Mr —Q2) I O2C г* \ г
оYr
2A
(77)
¦ 2асоп \ — § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
43
1 +
За2
2а2
(2 Mr-Q2)-
2 аш0
где
, Mr— Qa . ^ CD| =-—; COn
eQ 1 .
с = 1 —CW0
(78)
(79)
T* ' (Ш» г2
и угловая частота кругового (невозмущенного) движения равна
W0 = (1—0?)?)-1
(Oi
1
a' CDn
Ar
a fwf-
2г
(80)
Энергия частицы, движущейся по невозмущенной круговой орбите, выражается через too следующим образом:
X
с, Г, 2 Mr-Q2 1
? = [А! 1--(I-OJD0) I X
1 -tog (Г2 + а2) - ™rr Ito0V2 + wQr (1 -CtO0)] J ¦
¦1/2
(81)
С помощью формул (77), (78) при Q = O получим известные условия устойчивости круговых геодезических в метрике Keppa [73]:
0)2
?-4 о.
COj» = 0)2 ( 1 =P 4ac0s + Зд2/Г2) > о.
(82) (83)
Величина (83) положительна при r>r+ для обоих направлений вращения, т. е. круговые геодезические в метрике Keppa устойчивы относительно аксиальных возмущений. Границы радиальной устойчивости Wr2 = O были найдены численно в работе [73] (см. также [77—79]).
В случае с = 0 (т. е. метрики Рейсснера— Нордстрема) результаты (77), (78) совпадают с полученными в >[80]. Кривые существования устойчивости и связанности (у= 1) круговых орбит для ненулевых значений обоих параметров а и Q приведены на рис. 5,а. Отметим, что с ростом электрического заряда границы существования и устойчивости смещаются в направлении горизонта как для прямого, так и обратного вращений пробных частиц.
