Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
где I' — вектор тетрады (1.61), не сингулярной на горизонте бу- § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
51
дуіцего; его контравариантные компоненты в системе координат {и, г, 0, ср) равны на горизонте (см. (1.62))
Ir=^ = (0,-1,0,0). (19)
При переходе от верхней строчки к нижней в (4.18) учтено, что якобиан преобразования от {0, Ф} к {t, <р) равен единице.
Выбирая в качестве S1 и S2 гиперповерхности ортогональные t и разделенные интервалом времени dt, и обозначая элемент телесного угла через dQ = sin0d0d<p, из формулы (17) имеем
= ^l(TlivEli) /; (г2+ + а2) + lim (r«7"%)] dQ, (20)
поскольку на бесконечности пространство-время становится плоским и, следовательно,
V~—g dS^ = 6(ilr2 sin QdQdtydt. (21)
Формула (20) выражает изменение величины S в единицу времени в виде суммы соответствующих полных потоков через горизонт событий и бесконечно удаленную поверхность. Физический смысл величины S определяется характером векторного поля В случае стационарных черных дыр имеются два векторных поля Киллинга g<(> и |(ф) (1.8), (1.9), отвечающих преобразованиям сдвига по времени и вращения вокруг оси симметрии; соответствующие им величины <fT(() и <fT(lp) имеют смысл плотности энергии и проекции момента поля на направление вращения черной дыры. Изменения массы Af и углового момента J черной дыры в силу глобального сохранения энергии и момента [26] выражаются первым интегралом в (20), в который следует подставить временной и азимутальный векторы Киллинга
~= ф (г2+ + a2) dQr (22)
if = ~~ § 7li^(Г+ + fl2) dQ (23)
(знак «минус» в (23) обусловлен выбором сигнатуры метрики
(_1----)) С помощью первого закона термодинамики для
черных дыр (1.27) отсюда можно получить выражение для скорости изменения площади поверхности горизонта событий. Учитывая, что в рассматриваемом случае нейтрального, поля dQ = 0, найдем
_iL Ju = QhJL=[ rv 4 /С (Г+ + a2) dQ, (24)
8 я dt dt dt J ^ v + ' y ' 52^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
¦где учтено, что на горизонте событий (в координатах {v, г, 8, Ф}
= JL- & JL___L. (25)
5«> ди ' Є<«> дх» - дФ { >
.и с учетом (1.63)
^ = ? + ??,. (26)
Потери энергии и проекции момента поля вследствие переноса через удаленную поверхность, определяемые вторым членом в (20) с учетом явного вида векторов Киллинга можно представить :в виде
Щ- = Iimra А = 0,3, (27)
at r-»a> j
где A = 0 соответствует энергии, а Л = 3— проекции углового момента на ось симметрии.
Формулы (22), (23), (24), (27), полученные без использования явного выражения для тензора энергии-импульса, справедливы и для полей других спинов. Формализм изотропной тетрады
Откладывая исследование общего случая метрики Керра — Ньюмена до гл. VII, где будет рассматриваться массивное заряженное скалярное поле, обратимся к дальнейшему анализу уравнения для вещественного безмассового скалярного поля в прост-;ранстве-времени Керра. Возможность разделения переменных в йолновом уравнении (9) при R = 0 была показана Картером [24], и затем явное решение задачи получено в [90]. Как и в случае уравнения Гамильтона — Якоби (§ 3), полное разделение оказывается возможным благодаря существованию тензорного поля Штеккеля — Киллинга (1.57). Можно показать, что два дифференциальных оператора первого порядка
E = ^11) L=-^AV (28)
и оператор второго порядка
K = V1^vVll (29)
коммутируют с оператором Даламбера D =—V11V" на множестве решений уравнения Dty=O. Для операторов (4.28) это следует из соотношений
DIia = -RijvIv; [Vli, ?] V = R^ (30)
(в рассматриваемом случае Rhv=O) и антисимметрии ^w,, а для квадратичного оператора (29) — из соотношений (1.28), (1.30) 145] (при R=O)-. ' . " ; § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
53
Введем операторы Ньюмена — Пенроуза (производные по направлениям векторов тетрады)
D==(Z11Vli); A = (Ag;
б = (Zn1Vli); б*= (/ті*"Vli).
С помощью соотношений (1.52) нетрудно проверить, что операторы, получающиеся в результате перестановки V11 и векторов тетрады в (31), можно записать в виде
V1A=D-P-P*, Vnntl= А + ц + ц*—Y—Y*' (32)
V(im>i = 6 + 2?—г,
где были учтены соотношения между спиновыми коэффициентами (1.53(). Записывая теперь контравариантный метрический тензор в виде разложения по векторам тетрады, представим оператор Даламбера в форме
? = - 2уц (/"V» -mV») V, = = — (D—Р— P') Л — (Д + Ц + Ц* — Y ~1Y*)D +
+ (6 + 2? —т) б* + (6* + 2?*—т*) 6. (33)
Для дальнейшего анализа волновых уравнений в метрике Keppa целесообразно ввести следующий набор операторов [91, 92]:
dr A dt А Эф А
3)+=J--'ILt*. Л--+ 2п J^L, (35)
dr A dt А аср д
Xs=- + sctge--------tasine —, (36)
s ае sin 0 йф dt ' 4
+sctS0]+ -lT-T- + (37)
дб sin 0 йф dt
,где п и S — целые или полуцелые числа (или нуль). В терминах этих операторов введенные выше производные по направлениям (применительно к скалярам) принимают вид
D=SD9-, A = —; 6= —^Xt-, б'=---fa X0. (38)
В дальнейшем будут постоянно встречаться коммутаторы операторов (34) — (37) с различными степенями спиновых коэффици- 54^
