Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
ентов р и р*. Нетрудно убедиться в справедливости следующих соотношений:
[р\ 25„] = -fepHl; [(р')\ C0n] = -k (р*)*+1 (39).
(аналогично для ЗУп+), а также
[Р4, X1] = — tfeasinep*+1; [(р*)*, Я,] = ika sin 6 (р*)*+» (40>
(и аналогично для SYt") ¦ Воспользовавшись также легко проверяемым тождеством
2>nA* = A*S>n+* (41)
(то же для 2!>п+) и учитывая явный вид спиновых коэффициентов (1.53), можно получить следующие представления для семейств операторов типа (32) (применительно к скалярам) с коэффициентами более общего вида:
б + mi* + kr + 2s? ---і=- , (42)
У 2
б* + пп + kx* + 2s?* = — prt+ip'-^p'ftp-r. (43),
V
D + kp + np' = p~kp'~n2OoPkP'n (44)
Д + «Y + « Y + + — -j- pC+A+Dp'C'+ft'+D X
X 2)±,n+n')/2 P- іп+к) (р*Г("'+*') (45>
(n, n', s, s', k, fe' — целые, полуцелые числа или нуль).
Используя соотношения (41) — (45), оператор Даламбера (33) можно представить в форме
? = ~[А (S1Sfii" + SSt S0) + WtX0 + .Sf1-Stf)!. (4б>
В квадратных скобках здесь стоит сумма операторов, один из ко-, торых не зависит от б (и не содержит дифференцирования по б), а второй не зависит от г (и не содержит дифференцирования по г). Кроме того, координаты t и ср входят лишь в производные. Поэтому коммутативность (46) с операторами (28), имеющими явный вид
E = i~-, Z=—i-L, (47)
dt Йф
очевидна. Квадратичный оператор R (29) с помощью представления (1.57) тензора Штеккеля — Киллинга и формул (32) можно-записать в виде § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
55
К = (б + 2?—т) г2б* + (6е + 2?*— т*) г2б + + (л + Ц + Ц*— Y- Y*) a* COSaGD + (D—P —P*) а2 cosa Є д. (48)
и далее, воспользовавшись соотношениями (41) — (45), привести его на множестве скалярных функций к форме
К = ~г V2 (XtX0 + X1Xt) - a2 cos2 ЄД (SD1S)Z + SDtS0)] ¦ (49)
ZL
Заменив в первом слагаемом в квадратных скобках г2 на S—a2 cos2 6 и сопоставляя результат с (46), найдем
^=Y (XtX0 + X1Xt)-a3cos2 6 ?. (50)
На множестве решений уравнения Даламбера Dty = O второй член обращается в нуль, и мы получаем
JK0 =— (XtX0 + X1Xt) = —--- sin Є Л--(I-asin86g)3. (51)
0 2 * 0 sine de ae Sinae v
,При а = О оператор (51;), очевидно, сводится к оператору квадрата углового момента
K0 (а =0) — —La = —---LsinG-+ —!——• (52)
ov ' sine ae ae sin2e а<р* v
Разделение переменных
Построим сначала систему общих собственных функций коммутирующих операторов ?, Ё и Я:
Щатк =Hw; (53)
^W = ™lw; (54)
^rrtW= — MW. (55)
где ю, т и X — собственные значения. Решениями уравнений (53) и (54) являются экспоненты,
г)е~ш+ш\ (56)
а уравнение (55) имеет стандартную форму уравнения для сплюснутых сфероидальных функций [93] Sim (cos 0) с собственным значением X. Нумерация собственных значений и собственных функций оператора Яо осуществляется целым неотрицательным числом I, причем для а = 0, X = l(l+1) (см. Дополнение). Поэтому
Rtm (Г) SZ(CosQ) (57) 56^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
и в результате общие собственные функции операторов (53) — (55,) принимают вид
tWx = ^im = (2я(Г) SZ (COS Є) е-ш+іт«, (58).
где Ruim(r) — радиальная функция, подлежащая определению из уравнения Даламбера DipaZm=O. Функции S?„(cos6) вещественны и образуют ортогональную систему, которую условимся нормировать с помощью равенства
J SFm(cos Є) SZ (cos Є) d cos Є = б;г. (59)
Будут также использоваться полные сфероидальные гармоники
ZZ (6, Ф) =-?= Sfa (cos Є) є""*, (60>
у Zn
очевидно, удовлетворяющие условию ортонормированности
ZTm' (6, <p)Z?®(6q>)sin6d6dcp = 6ir6mm.. (61)>
Подставляя функции (58) в уравнение Даламбера (9), для радиальной части Rfm (г) найдем
~ A + + К) Rfm = 0, (62>
дг дг д / где введено обозначение
(r2+a2)—am. (63)
Переходя к черепашьей координате dr* = (r2 + a2)dr/А,
г*= г + ( г+ In^t -г_In-^=) (64).
У m2 — а3 \ г+ г- 1
и новой радиальной функции
Xfm (г)=:= (г2+ ^)'/? (г), (65)
получим уравнение, не содержащее первой производной
~гхГт-У(г)хГт=о, (66)
ал*1
где эффективный потенциал равен
U (г) - 1
¦У + М+2^-"» A + W
л*+ а* (л*+ а«)*
(67)
(л3 + а2)8
Уравнение (65) имеет вид одномерного уравнения Шредингера с § 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
57
короткодействующим потенциалом. При г-+оо выражение (66) стремится к постоянной
U (г) с/э—©2, (68)
г-*-да
и, следовательно, существуют решения и^, представляющие собой асимптотически расходящиеся и сходящиеся волны:
ы<±> (г) оо е±1Шг (69)
Г-*- OO
(здесь учтено, ЧТО при r-э-ОО, г*сг>г).
По мере приближения k горизонту событий г—w-i- (г*->--оо)
потенциал U (г) также стремится к константе
t/(r+)=-^_(o)_OTQH)2> (70)
где Qh — угловая скорость черной дыры (1.21), и, значит, существуют решения и(±), обладающие вблизи горизонта асимптотическим поведением
у(±) OO e±ikr' = g±i(o тОн)л*_ (7 !)
г*-»-—да
Поскольку величина k является знакопеременной (при ©>0), физический смысл решений (71) заранее не очевиден. Для того чтобы выяснить, является ли волна в окрестности горизонта сходящейся или расходящейся, нужно перейти в систему отсчета физического наблюдателя, который внутри эргосферы должен вращаться с угловой скоростью, лежащей в интервале (1.15). При r-w+ эта угловая скорость стремится к угловой скорости черной дыры. Для такого наблюдателя координата ср в выражении (58) ф = и, следовательно, (локальная) координатная зависимость полевых мод от t vi г такова:
