Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
эффективный потенциал радиального движения монотонно возрастает с увеличением г при любом знаке заряда. При достаточно больших по сравнению с правой частью (42) значениях L, Uett имеет минимум, расположенный при LBM^> |e|M? в точке
причем кривая, соответствующая знаку заряда, при котором сила Лоренца направлена от дыры, проходит всюду ниже кривой, отвечающей противоположному знаку заряда (рис. 2). Мы приходим к выводу, что радиальный потенциальный барьер для частиц одного знака заряда под действием магнитного поля опускается, а для частиц противоположного знака поднимается, что делает возможным радиальное прохождение частиц в первом случае при энергии, меньшей соответствующего шварцшильдова значения.
Параметры круговых траекторий заряженных частиц в плоскости 0 = я/2 также зависят от знака заряда. Энергия и обобщенный момент для круговых орбит зависят от их радиуса следующим сбразом:
UT ! еВг \ А 1/2
. = ^--Uni [„ + «(,+2(i_2) (1-і-))} X
Чі-Мі-2)^))]"2}*§ 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
35
X \1--3 — 4 ( JL- (і--і
Lm \м J \ л
—і
tI = -
_?_ JL А (44)
ц Bm M2 Л '
причем условием существования круговых орбит является неотрицательность подкоренного выражения.
(VeffI?)2
Рис. 2. Эффективный потенциал радиального движения заряженной частицы в магнитном поле вокруг шварцшильдовой черной дыры при различных е. Кривые построены для случая L=30Aljx
г/м
Рис. 3. Области существования и устойчивости круговых орбит заряженных частиц в зависимости от напряженности магнитного поля вокруг черной дыры. Заштрихована область параметров, при которых не существуют круговые орбиты. Сплошная кривая ограничивает область радиальной устойчивости анти-ларморовых орбит, пунктирная — ларморовых
Заметим, что если в случае нейтральных частиц влияние магнитного поля определялось отношением В/Вм, то в случае заряженных частиц определяющую роль играет фактор г = еВ/цВм, связанный с силой Лоренца. Даже при очень малом значении отношения В/Вм для частиц с большим отношением e/fx (для элект-2*"36
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
рона е/ц — IO21) параметр г=еВ/\іВм может быть не малым. В дальнейшем будем пренебрегать «геометрическим» воздействием магнитного поля на заряженные частицы, полагая A=I. В этом случае вместо (3.44) будем иметь
*<«=--^-(e± ~|/~E2 + 4 (45)
1 ' 2M (г-ЗМ) V V A2 J V '
Нетрудно видеть, что величина ?ц+) имеет особенность при г= = ЗМ, в то время как ?ц_) такой особенности не имеет. Область существования круговых траекторий, задаваемая условием положительности подкоренного выражения в (3.45), простирается при достаточно больших значениях отношения eB/\iBM вплоть до горизонта (рис. 3).
Покажем, что при г>ЗМ возможно вращение в обе стороны, а в области 2М<г<ЗМ возможно только такое вращение, при котором сила Лоренца направлена от дыры. Запишем радиальное уравнение движения
г2 d2r о Mr2 ( dr \2 M . 9
TIF - 3^ Ы) = ~ ¦+ +
(do = d<pldt, (46)
где u)B = eBJ (ци°) — циклотронная частота в гравитационном поле„ u° = dt/diS = yr2lA. Первое слагаемое в правой части (46) представляет силу гравитационного притяжения, второе — центробежную» силу, третье — силу Лоренца. Обозначив частоту кругового движения в поле Шварцшильда через ws= {M/r3)'1', для круговых орбит (IL=^- = O), найдем \ dP dt j
co0 = Q(,rico?[± -/1+4^-1). (47)
Нижний знак в (47) соответствует силе Лоренца, направленной на, дыру («ларморово» вращение), верхний знак отвечает силе Лоренца, направленной от дыры («антиларморово» вращение). При (O?-vO частоты (47) стремятся к ±ws, а при ws-Cws найдем, что (i)s2/(i)B, Ql-—«»в. Из условия равенства единице квадрата че-тырех-скорости получим
g^uW = 1 = (u0)2 ^ 1 — Ж + г*е>вщ) . (48)
Из этой формулы видно, что ларморово движение возможно только в области г>ЗМ, в то время как антиларморово движение возможно как в области г>ЗМ, так и в области 2М<г<ЗМ. Сопоставляя формулы (43), (45), (47), нетрудно прийти к выводу, что§ 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
37
при г>ЗМ л ар морово вращение соответствует значению выражения (45), а антиларморово — значению Угловая скорость (47) после подстановки соответствующих значений энергии может быть также записана в виде
ДІ/2
= ± -^r- ^ro (1 + >4*))"1/2. (49)
Для случая антиларморова вращения точка г = ЪМ не представляет особенности, для ларморова же вращения (г-»-ЗМ)-»-оо, как и в случае геодезического движения. При достаточном удалении от точки г=ЗМ, именно при
єД/М2«2 (L- — 3j'/2, (50)
разность энергий, соответствующих двум вращениям в противоположном направлении при заданном радиусе, выражается формулой
El--Ea = Yw--Y(_,)-= ii є
при положительном значении заряда энергия, соответствующая ларморову вращению, больше. При еще больших значениях радиуса сила Лоренца становится доминирующей, и мы получим
El ~ іiVl + (eBr/\i)2; Ll ~ — SeBr212, , / і;' (51)
откуда для ларморовых орбит получается обычное значение циклотронного радиуса. Таким образом ларморово вращение можно рассматривать как искаженное гравитационным полем циклотронное вращение, антиларморово же вращение возможно только в комбинированном поле черной дыры и магнитном.