Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Получим теперь выражения для частот радиальных и аксиальных колебаний заряженных частиц, движущихся вокруг вращающейся черной дыры, погруженной в (слабое) однородное магнитное поле. Для этого подставим в (68) и далее в (72) и (76) символы Кристоффеля (1.5) при Q = O и компоненты максвелловского тензора (58). В результате найдем
..... Л Ш За2
(O2 = O)S
> і
W0W5
6М За2 ^
+ § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
45
0)2 = 0)2
+ 4ао)2 (2о)0 + о)в) + о)| ^ 1 — Ж — со| + 2а2со| j _ (84) (1 + ~П + 4a2coI) + coOcoB (1 + -2acoI(2соо + ©в). (85)
Определяемые отсюда области устойчивости при а = 0 совпадают X результатами предыдущего раздела. Анализ формулы (84) при аФО показывает, что при достаточно большой величине магнитного поля область радиальной устойчивости, так же как и в шварцшильдовом случае, расширяется вплоть до горизонта событий.
В случае а=О удается получить явные формулы для частот CDr и сое и при произвольных значениях магнитного поля (т. е. для метрики Шварцшильда — Эрнста). Используя символы Кристоф--феля (2.8) и выражения (2.9) для компонент максвелловского тензора, найдем [81]
J («а Cl —а«>-
л V2
¦,?(,_.*)]}. ,86) -5 (¦ + •?). W
причем (ub = еВ/ум0 (1 — 26) и частота обращения _-r- A2VA . n,A2 ч—1/2
coO = -I--:—л(±)(1 + л(±))
2а
а = —---3—46 ( —--2^1; ^ = J-JL-. (88)
M \ M J Ц Вм M2 А
Несовпадение частоты радиальных колебаний с частотой кругового движения имеет общую природу с эффектом прецессии полуосей эллиптических орбит. Действительно, пусть Q = О, a<CAf; r~b> ^M-, тогда возбуждение радиальных колебаний около круговой
Рис. 5. Границы областей существования (сплошные линии), связанности (у = = 1) (пунктир) и радиальной устойчивости (точки) для круговых орбит нейтральных частиц в поле Керра—Ньюмена. Знаки +, — соответствуют прямым и обратным орбитам (а); резонансы низших порядков: k—3 (пунктир), й = 4 (сплошная), k = 5 (точки) (б) "46
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
орбиты эквивалентно квазиэллиптическому движению с углом поворота полуосей за период
Несовпадение частот соо и юе соответствует в случае слабого поля (а^=0) прецессии Лензе — Тирринга (см. также [82]). При а=0 частоты «во и сое совпадают, в этом случае аксиальные колебания фиктивны и могут быть устранены координатным преобразованием, отвечающим повороту плоскости орбиты.
При учете нелинейных членов в правой части уравнения (67) возникает связь между орбитальным движением и колебаниями, а также между двумя типами колебаний. Если частоты сог, юо и CO6 становятся соизмеримыми, в системе появляются резонансы и характер движения может качественно измениться. На рис. 5,0 показаны положения резонансов &гС0г = &еШе, kr и ke — целые числа, низших порядков k=\kr\ + \ke\, k = 3, 4, 5, при различных значениях заряда Q поля Keppa — Ньюмена (сог и сов определяются из (77), (78)). Эти кривые оказываются лежащими в области существования круговых орбит и частично в области устойчивости, определяемой в рамках линейного приближения.
(89) ГЛАВА II
БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KFPPA
Обобщение волновых уравнений для полей различного спина на искривленное пространство-время, вообще говоря, не сводится к замене частных производных на ковариантные. Пространство-время, искривленное гравитационным полем, характеризуется новыми геометрическими величинами — тензором кривизны и связанными с ним тензором Риччи, скалярной кривизной и т. д., которые обращаются в нуль при переходе к пространству Минков-ского. Неудивительно, что «правильные» уравнения для физических полей в искривленном пространстве-времени в ряде случаев будут содержать неминимальные члены, зависящие от тензора кривизны. Заметим, что для полей высших спинов минимальное взаимодействие с гравитационным полем не удается ввести непротиворечивым образом [83, 84]. Как правило, характер взаимодействия рассматриваемого материального поля с гравитационным полем в рамках той или иной динамической теории определяется условиями симметрии (конформной инвариантности, суперсимметрии и т. п.).
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Лагранжев формализм
Естественным требованием симметрии для безмассового скалярного поля представляется условие конформной инвариантности: ввиду отсутствия в теории параметра размерности длины уравнения не должны изменять своего вида при конформном преобразовании метрики
где Q(x) — некоторая гладкая функция. Нетрудно, однако, убедиться в том, что ковариантный оператор Даламбера VnVli ПРИ преобразовании (1) не сохраняет свой вид: на множестве скалярных функций
Тем не менее, заметив, что скалярная кривизна R при конформном преобразовании ведет себя аналогичным образом:
guv (x)~^-Q2(x)gllv (х),
(1)
VliVli-> Й-3 IvliVi-Q-1 (VliV^)I Q-
(2)
R -+- Q-2 (R—6Q-1 VnV^).
(3) 48^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
для компенсации членов с производными от Q можно построить комбинацию
V^' --R ^Q-3 (VliV*-R) Q. (4)
Если принять, что при преобразовании (1) поле изменяется как
