Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Антиларморову вращению в области 2M<r<3M отвечают оба знака перед корнем в (45). При є^>1 существуют круговые траектории, радиусы которых близки к радиусу горизонта
г>М( 2+Є-1)- (52)
По мере приближения к горизонту энергия (д/у(±) антиларморо-вых траекторий стремится к нулю, что связано с гравитационным дефектом массы. Энергия, измеренная в локально-лоренцевой системе отсчета на границе, определяемой знаком равенства в (52), равна конечной величине i? = y2jx. Этому значению отвечает гравитационный дефект массы
= 1=(1--Lr), (53)
ц H \ у є 1
который может быть сколь угодно близким к 100%. "38
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Зависимость энергий ларморовых и антиларморовых траекторий при некоторых значениях параметра є показана на рис. 4. Отметим, что при г>ЗМ существуют ларморовы траектории, характеризуемые сколь угодно большим значением у, причем ультрарелятивистский характер движения не связан с близостью к
замкнутой светогеодезической г = = ЗМ. В частности, при выполнении условия (50)
2М
Y(+>
є2Д2
M2 (г— ЗМ)2
1
» 1.
(54)
Рассмотрим вопрос об устойчивости описанных выше круговых орбит заряженных частиц в экваториальной плоскости. Для устойчивости в радиальном направлении
необходимо, чтобы -— >0.
дг2
Результирующее условие может быть представлено в двух эквивалентных формах
E2 >
y2 (6М/7- — 1) (г/М — 2)3
>
6 M-
-2 M
(55)
Рис. 4. Кривые отношения энергии к массе у=E/її для круговых орбит при лар-. моровом (сплошные линии) и антилармо-/ ровом (пунктирные линии) вращениях
Отсюда ясно, что при г>6М движение устойчиво по радиусу независимо от величины магнитного поля и направления вращения, как это имеет место при S = O. При г<6М области устойчивости в радиальном направлении для ларморова и антиларморова вращений различны, поскольку при заданных г и є значения энергий, которые необходимо подставить в (55), не совпадают. При достаточно больших є=еВ/\іВм вращение, соответствующее значению энергии Y(+)> устойчиво вплоть до г—4,3м, вращение с энергией "Y(-) устойчиво вплоть до горизонта. В частности, существует устойчивая антиларморова орбита, для которой дефект массы задается формулой (53). § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
39
Для исследования устойчивости в вертикальном направлении в уравнении Гамильтона — Якоби произведем разложение по углу а = я/2— 0 вблизи плоскости 0 = я/2:
г2 (dS_\2 А V dt )
— (1 + а2) + — e2?2r2(l — а2) + и2-г2 4
Собрав члены, пропорциональные а2, приведем соответствующий вклад к виду
а2 /Г2 esfiV \ aV / , ч fK74
—(L--Г")=W0)0 4 W?)- {57)
Принимая во внимание выражение (47) для частот, нетрудно убедиться в том, что величина в квадратных скобках равна Ws2 и, таким образом, является положительной независимо от энергии и направления вращения. Это означает, что движение в приближении малых колебаний вертикально устойчиво при всех допустимых г.
В случае вращающейся черной дыры, погруженной в (слабое) однородное магнитное поле, круговые орбиты заряженных частиц в экваториальной плоскости также удается исследовать аналитически. Отличные от нуля компоненты максвелловского тензора пробного однородного магнитного поля можно получить из (2.45), полагая Qo = —2аМВ (см. также [75]). Переходя к координатам Бойера — Линдквиста, будем иметь
FOi=(1 - ^f) (1 + cos2 0); F02 = аВ (a2 -г2) sin 20;
F32 = В sin 20 [cos2 0 +-^- sin2 0(1 + cos2 6) j
F31 = Ssin2
Ma2
(l--^)(1+COS2 0)
(58)
Для описания орбит заряженных частиц в этом случае удобнее воспользоваться непосредственно уравнениями движения
duil '-IVuk=-FW- (59)
ds (і
Принимая во внимание отмеченные в § 1 свойства симметрии символов Кристоффеля для метрики Керра и компонент тензора поля (58), нетрудно прийти к выводу, что в плоскости 0 = я/2 возможно круговое движение. При этом уравнения (59) с jx = 0, 2, 3 удовлетворяются тривиально, а уравнение с ц = 1 приводит к следующему выражению для угловой скорости вращения: "40
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Шг
Wn =
1 — а2ш I
»SN2......- 11/2
^ ' (1 + аюв) (1 -а2®2) — 1 [, (60)
где циклотронная частота определена по-прежнему как = еВ1ци° и величина (O1 равна
CO1 = -^-(1+0^1) + 002. (61)
Два знака в (60) соответствуют прямому и обратному вращениям по отношению к направлению вращения черной дыры. Для медленно вращающейся дыры о<сМ в случае, когда сила Лоренца является доминирующей, из (60) найдем
, (1)2/со + 0(1)2
O0 Ч 5 (62)
— (I)b (1 + (1)|+ 3u(o|/(o?).
Положительный знак wo отвечает антиларморову вращению, при M—v0, как видно из (62), оно становится невозможным. Нижняя строчка в (62) соответствует ларморову вращению, переходящему в обычное циклотронное вращение при М->-0.
Покажем возможность негеодезического движения заряженных частиц по ультрарелятивистским круговым орбитам, удаленным от круговой изотропной геодезической. Для этого выразим энергию частицы E = IiUo через частоты а»в и root
с H Гі 2М ,, Ч1 ш0 (1 + а2ш|) — аш|
