Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
^_е~ Цч>—т?2н)Ш(ш—m?2H)r*
Из этих рассуждений следует, что решение u(+) (71) представляет собой вблизи горизонта событий расходящуюся, а — сходящуюся волну, хотя фазовая скорость для u(+)
С -^. = (1-.^-1 (73)
при соCmQ меняет знак. Заметим, что групповая скорость при этом остается знакоопределенной:
Vrv = da/dk = l. (74)
Поскольку эффективный потенциал (67;) имеет вид потенциального барьера, спадающего при г*->±оо, расходящаяся при г-* оо 58^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
волна в области слева от барьера будет представлять собой суперпозицию падающей и отраженной волн
Xup = (2N)~1/2и<+> = (21kI)-1'2 (u<+>----2Іє (kta), (75>
где параметры т и а определяют коэффициенты прохождения и отражения от барьера. Здесь символом є (feto) обозначена знаковая функция
е(М S=-TT (76)
и индексы со,/, т опущены.
Второе линейно независимое решение удобно выбрать так, чтобы при г->г+ присутствовала только падающая волна
Xin = (21 © I )-!/2 (ы<-> + оы<+>) ={2\k\ )-і/2та<~), (77)
что соответствует волне, приходящей из бесконечности, испытывающей частичное отражение (с коэффициентом отражения jaj2), и частично поглощаемой черной дырой (обозначения in, up соответствуют работе [94]).
Поскольку оператор, стоящий в левой части уравнения (66), вещественный, то хир* и Xln* также будут решениями этого уравнения. Из условия постоянства вронскианов
W(x, X') = X-5-Х'^r. (78>
dr* dr*
приравнивая асимптотические значения W при г*-»-±оо для различных пар из четырех решений х1п» Xup, Xln* и Xup*, получаем соотношение между коэффициентами г и a
e(fco) M2+M2=I- (79)
Второе слагаемое в левой части (79) всегда положительно, в то время как первое слагаемое становится отрицательным (при со>0), если
Й=со—mQ„<0. (80)
В этом случае коэффициент отражения |aj2 падающей волны от черной дыры будет больше единицы, т. е. волна испытывает усиление при отражении. В этом состоит предсказанный Я- Б. Зельдовичем и Ч. Мизнером и рассчитанный явно А. А. Старобинским. эффект суперрадиации, [10—12]. В режиме суперрадиации фазовая скорость падающей на черную дыру волны вблизи горизонта событий направлена от черной дыры (групповая скорость остается: направленной внутрь черной дыры).
С учетом равенства (79), выражающего сохранение потока, можно получить следующие соотношения между радиальным® функциями и комплексно-сопряженными к ним функциями: S 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
59
Xln=Xup* +axup,
Xup= Ix 1 -2 (xin—о*х1п)є (Ы), (81)
которые оказываются полезными при решении задачи о радиационном трении для частиц, движущихся в окрестности черных дыр.
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнения Максвелла в формализме Ньюмена — Пенроуза
Электромагнитное поле Fvv в формализме Ньюмена — Пенроуза описывается совокупностью трех комплекснозначных скалярных функций Фо, Фь Фг [48, 51], представляющих собой коэффициенты разложения самодуального бивектора
^"„v=^ ^liV +^v); (1)
J7IiV = — E^xx= V — g e(ivXx (2)
по базису самодуальных бивекторов І^т^у, /П[цЯу]; п^/у] + m^m^]:
^1XV = Фот[и"у] + Ф1 ("E1A] + "IfnmV]) + Фа^[цту]• (3)
В терминах проекций вещественного максвелловского тензора ,Fliv величины Фо, Фь Фг имеют вид
Фо = FvvIW, (4)
Фх = -у Fliv {IW + m'v-my), (5)
Ф 2 = F|lvm*W. (6)
Запишем уравнения Максвелла для поля Ftlv, порождаемого током
F^= -4пД (7)
Fv. v,x+Fv^ll+Fxlliv=3F[nv;x] = О. (8)
Вторую группу уравнений (8) можно эквивалентным образом представить как
FiiX= 0, (9)
где дуальный тензор Fiiw определен согласно (2). В совокупности уравнения (7) и (9) образуют одно уравнение для комплексного самодуального бивектора Srvv.
3^ = -2 я/*, (IO) 60^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
причем вектор тока в правой части является вещественным. Если формально допустить существование магнитных зарядов и токов, то уравнение (10) останется без изменений, однако под /" следует понимать комплексный вектор
^= /? + і/'м, (И)
где /Vі — ток, создаваемый электрическими, а /V — магнитными зарядами.
Умножим скалярно правую и левую части (10) поочередно на векторы изотропной тетрады, записав Flxv в форме (3). Учитывая определения спиновых коэффициентов (1.51) и ковариантных. производных по направлениям векторов тетрады (4.31), получим следующую систему уравнений для скаляров (4) — (6), эквивалентную (10):
(D— 2р) CD1 — (б*—2а + я) Фи + хф2 = — 2п],, (12)
(б—2т) (D1- (А—2* + (і) Ф„ + сгФ2 = —2яjm, (13)
(D + 2є — Р) Ф2— (б* + 2я) Фх + КФ0 = —2я/т., (14)
(fl + 2p—т)Ф, —(д+2|і)ф1 + уф0=—2я/„. (15)
В правые части уравнений (12)'—(151) входят тетрадные проекции тока
І і = У"; In = Unf^ /т =/',/^; /т. - j^m"* (16)»
(заметим, что при наличии магнитных зарядов ]т*Ф fm).
Рассмотрим подробнее систему уравнений (12)—(15) для метрики Керра, в которой к=о=Х = \ = 0, и каждое из уравнений содержит не более двух неизвестных функций.
С помощью формул (4.42) — (4.45) уравнения (12) — (15]) мож-
но переписать в виде
