Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
— = j~(^ + °a)2_a2sin26
^ , AaMr ^
dt3 Д dtd ф
+
+
Д sin2 9 j Эф2 дг
-2s
—---— ('sinQ-^-'j —2s f "<'-**> +Agil
sin 9 <Э9 \ dQ J [ Д sin2 9
M (r* - a*) .^0X ds^p
dsj>
Эф
ia cos 0) + (s2 ctg2 0 —s) = 4я2 ST (7) J ot 80^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
(позже была доказана его справедливость и для безмассового гравитино, |s| =3/2). Замечательным свойством этого уравнения является возможность полного разделения переменных; помимо рассматриваемой системы координат, это можно сделать и в любой другой системе, связанной с координатами Бойера — Линдк-виста преобразованиями Ґ = t+f\(г) +/2(0), ф' = ф+?і(г) + ?г(0; r' = h(r) \ 6' = <7(o), где f 1, t2, gi, gz, h и q — произвольные функции [9].
Возможность разделения переменных связана с существованием трех независимых операторов, коммутирующих с SD, именно E=Idjdt, L =—ід/дф, а также оператора
Ks =
Xt-s Xs +
(2s-1) (— \ P
— (XTX0 + XiXt),
Xl+sX±s\ + (2s+l)(-L
\ P
-U S > 0;
р» J
S = 0;
(8)
обобщающего Ко (4.51) на случай s=^0.
Выделяя собственные функции операторов ? и L, будем иметь набор мод
$ (t, г, 0, ф) = (г, 0) е~ш+іт^ . (9)
На множестве решений вида (9) операторы (4.34), (4.37) принимают форму
3>я~ + ~
дг Д
ІЖ
ев in, т — Ysin2Q
Xs = - +SCtgO +--
Э9 sin 9
Х\
эе
+ sctge-
т — у sin2 8 sin 9
(10)
(11)
где Ж = а)(а2+г2)— та, у = аи>. Подставляя (11) в (8) и сравнивая с уравнением (Д.1) Дополнения, нетрудно убедиться в том, что сужение оператора (8) на множество мод (9) имеет в качестве собственных функций (для всех s) спиновые сфероидальные функции
Ks A (cos 0) = -sllmy sS?m (COS 0), (12)
где shim — собственное значение нумеруемое парой целых (в случае целых s) чисел />|s|, |'т|</. В случае у = 0
shm0=(l—S)(/ + S+1),
(13) § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
81;
причем, очевидно, -sfamo = S^lmO + 2s. ЭТО СООТНОШЄНИЄ ВЫПОЛНЯеТСЯ и при так как замена s на —s при одновременном преобра-
зования 6->-л—0 и X—>-A, + 2s не меняет уравнения (12)
-S^lmj — shlrm + 2s. (14)
(Подробнее свойства спиновых сфероидальных функций и соответствующих собственных значений обсуждаются в Дополнении.) Вводя спиновые сфероидальные гармоники
Лп (в, ф) = 1//2^ sSjm(cos 0) е1>пф, (15)
образующие полную ортонормированную систему функций на единичной сфере при />|s|, |т|</, получаем набор мод, характеризуемых тремя индексами {to, I, т}:
= sRlmv (Г) sZlm (0, ф) Є~Ш, ( 16)
где sRtm{r)— радиальные функции. На множестве мод (16) оператор Тьюкольского SD сводится к следующему радиальному оператору:
Amv) s^l та)1
(17)
где оператор
,Эетш = Д-5 -А As+!1 Л- + 2L (Ж - isA') + 4iwrs (18)
dr dr Д
(штрихом здесь и далее будет обозначаться производная по г A'=dA/dr).
Аналогичным образом построим сужение семейства операторов Ks на множество функций (9)
у , , 1 д . п д (m + scos0)2
As (m, со) ---Sin 0---і——----h
sine <Э9 <Э9 Sin2B
+ Y cos 0 (у cos 0— 2s) + s (s— 1)—у2 + 2 my, (19)
которое обладает свойством Ks(m, а>) +s = K-s(—т, ш)—s, что совместно с (14) дает
shltn-f = s^l—m—1- (20)
Для радиального оператора (18) замена —s эквивалентна комплексному сопряжению плюс преобразование первого слагаемого
—sS^mco —s^imy= As (sS%ma — s%lmy) A S. (21)
Поэтому если sRima{r) — собственная функция оператора (17) с нулевым собственным значением
{sfflma, S^lmy) sRlmu (r) = 0, (22) 82^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
ТО собственной функцией будет также A S —sRlma:
(s^ma,— S^lmy) A S —sRlma = 0. (23)
При замене {т, со} на {—т,—о}, Ж -н>--Ж и, следовательно,
m—со =sSSfmci). (24)
Учитывая (20), а также вещественность Д; m-[f имєєм
s3?ma S^i Iinta —to m—to> (25)
откуда следует, что наряду с sRima собственной функцией (22) будет
(sЖлиа — S^ln u,) sRl—m—ы =' 0. (26)
. Симметрия S-*-)--S
Оператор, комплексно-сопряженный оператору Тьюкольского, ¦очевидно, будет иметь в качестве собственных функций, принадлежащих нулевому собственному значению, функции, комплексно-сопряженные к (16), либо (заменяя т-*—т, ш-э—со с учетом (Д.21) и (26)) вид произведения _sZjtnsRlma. Поэтому потенциалы Дебая, удовлетворяющие уравнению (6.51) в результате разделения переменных представляются в виде разложения по модам вида
sSLco (X) = Жітар (г) -sZL (6, ф) ё~Ш, (27)
где s&imap — некоторое решение уравнения (22). Индекс P = ± соответствует четности возмущения. Условимся нормировать радиальные функции так, чтобы
S%1—т—шр= (— \)m+l s%.rrap> (28)
тогда в силу соотношения (Д.21) для угловых функций имеем
sS?:m-co= (- l)'+s s%i,nap(r) ,ZiUO, ф) e~iat. (29)
Заметим, что при инверсии координат
TsELa = (-1)%аСт-и, (30)
поэтому полные потенциалы Дебая, удовлетворяющие дополнительному условию (6.60), должны иметь следующее разложение по модам:
sSp(x)= ? 5а?ти(х), (31)
1,т, со § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
83;
где символом суммы обозначена операция
- (32>
