Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
г/
Эти уравнения дополняют выведенные ранее уравнения движения центров
тяжести
= И2.14)
до полной системы. В этом можно убедиться различными путями. Мы можем
рассматривать в качестве неизвестных, характеризующих
движение каждой массы, величины
at, if, шД; (72.15)
всего двенадцать величин [составляющие момента количества движения
выряжаются через них по формулам (72.07д[. Для этих вели-
:) !1з уравнений Эйнштейна это уравнение Оыло впервые выведено (др\ 1
н.\; способом; Б. 11. Кашкароны.ч [i0j.
§ 72]
НЬЮТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
331
чин мы имеем: три уравнения (72.14) (движение центра инерции), три
уравнения (72.13) (закон изменения количества движения) и еще жесть
уравнений
" tft (a) r(a) I (a) r(a) . r,
I)n -f <ajk I\j , (72.16)
справедливых для всякого тензора, компоненты которого в системе
координат, связанной с телом, постоянны (вывод мы приведем ниже). Таким
образом, для двенадцати неизвестных (72.15) мы имеем
двенадцать уравнений, и система уравнений будет полной.
Мы могли бы вести рассуждение и иначе, введя в рассмотрение, для каждого
тела, координатную систему х(, х*, х*, вращающуюся вместе с телом
(верхний значок (а) мы для краткости опускаем).
Обозначая через ari косинусы углов, удовлетворяющие соотношениям
d.rflrj 0 у, *rias? 'Jrs' (72.1/)
мы можем положить
К - ari(xi - ai)' xi - ai~ <*rix*. (72.18)
Производные от косинусов связаны с составляющими угловой скорости
соотношениями
"н = ar/V "ji = 7-rf-n- (72.19)
i lo известным формулам кинематики твердого тела девять косинусов ari
выражаются через три эйлеровых угла 0, ", б. Для каждой массы мы могли
бы, вместо (72.15), взять в качестве неизвестных функций шесть величин
ах, а.,, аь, 0(°), "("), <Аа) (72.20)
и выразить через них все остальные, в частности величины (72.15). Так,
угловая скорость уже кыражена в (72.19) через косинусы и их производные.
Что касается моментов инерции, то они выражаются но формулам
= ariasjlfj' (72.21)
где -постоянные значения составляющих этого тензора в системе, связанной
с телом. Для шести величин (72.20), относящихся к каждой массе, мы имели
бы шесть уравнений (72.13) и (72.14), т. е. надлежащее число уравнений
для того, чтобы система уравнений была полной.
Приведенные здесь вычисления уравнений движения в ньютоновом приближении
предполагают возможность отбрасывать (помимо релятивистских
поправок)члены более высокого порядка относительно малой величины I./R.
Если бы мы пожелали сохранить эти члены, нам пришлось бы рассматривать
моменты инерции третьего и более
332
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
высокого порядка, например
1'т = ( Р (*; - а,) -- %) (хг - аг) (dxf- (72.22)
"I)
Но это не нарушило бы полноту системы уравнений. В самом деле, мы могли
бы рассматривать вновь введенные величины как функции эйлеровых углов,
например
hm = y-nasicaui^u, (72.23)
где Csu-постоянные. Тогда неизвестными функциями остались бы попрежнему
величины (72.20), так что число неизвестных функций не увеличилось бы.
При другом способе рассмотрения мы могли бы включить вновь введенные
величины в число неизвестных функций и соответственно дополнить систем}'
уравнений, например написать для величин (72.22) уравнения:
d ,{aS (а) Аа) , (а) .(а) , (o'Лей ,7п г,,ь
W Iikl=a>ji Iijl-T-Vji Uhj¦ (72.24)
В общем случае произвольного трехмерного тензора , соста-
вляющие которого Ага\...г в системе, связанной с телом, постоянны, мы
имели бы
Ж AiJ"- ¦ ¦ ¦ 'я ~ '"••• h + h-v i' 'к' • • •
<" +
- (1).
Чг " >
}¦ (72.25)
Эти уравнения непосредственно следуют из формул преобразования Д',, г2 .
. . гп = апг,а>-2"3 • • • > nA>\ri •••>'" (72.26)
в соединении с формулами (72.19).
В заключение проверим выполнение закона сохранения энергии для системы
уравнений (72.13) и (72.14). Введем кинетическую энергию вращения тела
вокруг своего центра тяжести
-т. 1 (O' (о) г (О) _ 1 я/т(0( (О) /70 07/
1 "=-2 hi (72.27)
При составлении производной от Та по времени нужно иметь в виду,
что в силу уравнений (72.16) будет
г1Па)
"W)-^- = 0, (72.28)
так что при дифференцировании Та величины /*"' могут
рассматри-
ваться как постоянные. Имея это в виду, легко получаем
§ 72] НЬЮТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 333
Подставляя сюда выражение (72.12) для производной от и пользуясь
антисимметрией будем иметь
dT^ ,.,оо f{&) д* 1 /70 оо\
~ИТ ~ Ш{к L ЩдГк Та^ЬТ (72'30)
или, после симметризации относительно j и к и последующего пере-
именования значков,
dT (j _ 1 *jfs((z'ir((i) г (Ю rfo\ 1 ,70014
ST =2 2d 7'* у ^ ~дА~дАк Та"ЕПьТ ' ^72-31>
ь
или, наконец, з силу (72.16):
d Т 1 x~V дJ 1
"rff ~ Y ^ ~5Г йяТ^Г Га^пьТ • (72.32)
О
Припомним выражение (71.32) для потенциальной энергии
*=-*2{тпгет+i{MJ"+мЛ) *Х i"->ii• m**>
а. Ь
(аф Ь\
Величина Ф зависит от времени через посредство координат ai и через
посредство моментов инерции /$. Эта последняя зависимость дает в
выражении для полной производной от Ф по времени члены, которые равны
