Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(а) (")
>< " о-,
7VLa, = - -г-. (/1. Зо)
a 1 da,: 4 3
Величина Ф есть, очевидно, ньютонова потенциальная энергия нашей
механической системы, выраженная через, координаты и моменты инерции.
Заметим, что при выводе этих уравнений мы еще не делали, помимо (71.01),
никаких предположений о распределении скоростей внутри тела.
Если все рассматриваемые тела обладают сферической симметрией, то для
каждого тела тензор моментов инерции будет пропорционален единичному
тензору
(71.36)
В этом случае потенциальная энергия Ф совсем не будет содержать моментов
инерции, а будет зависеть только от координат а
328
ЗАКОН ТЯГОТГНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИИ
[гл. Vi
(и, конечно, от масс Ма, которые постоянны). Тогда система уравнений
(71.35) будет полной: она будет содержать столько уравнений, сколько
неизвестных координат центров тяжести масс. Это будут обычные уравнения
движения системы материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона.
В общем же случае, когда тела сферической симметрией не обладают, в
уравнения движения войдут, помимо координат центров тяжести масс, их
моменты инерции, и система уравнений (71.35) не будет тогда полной. В
этом случае можно получить полную систему, если ввести предположение, что
тела вращаются вокруг своих центров тяжести наподобие твердых тел. Это
значит, что распределение скоростей внутри каждого тела имеет вид
vi -ai~\~ MjiXXj - aj)> (71.37)
где <о(4> есть трехмерный антисимметричный тензор угловой скорости тела
(а). Опуская значок (а), мы можем также писать для его составляющих
(о23 = ш1; = (о.2; <о12 = (Од. (71.38)
При таком предположении полная система уравнений получится, если
присоединить к (71.35) уравнения, выражающие закон изменения количества
движения каждого из тел. Вывод этих уравнений из соотношений (70.29)
будет дан в следующем параграфе.
§ 72. Ньютоновы уравнения вращательного движения
Положим
M'fk - ) р \(xt - a,) vk - (хк - ак) v(] (dxf. (72.01)
(а)
Это есть, очевидно, момент количества движения тела (а) относительно
его центра тяжести. Закон изменения этой величины полу-
чается из (70.29) после выделения членов, относящихся к орбитальному
моменту количества движения. Эта операция сводится к применению
соотношения
\ pvk (dxf - ак [ pVi (rfx)3| =
(а) (о)
= о* / Р -Ц- (dxf - ак J о Щ (dxf, (72.02)
("I mi
которое вытекает из уравнений движения (71.34) и из формулы
(71.08), в силу которой
ai J[rVk (dxf - ак j" oVf (dxf 0. (72.03)
ia) (a)
§ 72] НЬЮТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Выпишем уравнения (70.29) еще раз
fp (хрк -xkvd(dxf = • dUN
329
JL
dt
[Xidxk
xk~)(dxf. (72.04)
fa) (a\
Вычитая из них соотношения (72.02), будем иметь
d
dt
(а)
ад vk - (хк
(X
' ah)vii (dxf
(a)
. dU af л- 1 dxk
¦ (Xk - ah)
dU
dX;
(dxf, (72.05)
или, пользуясь обозначением (72.01):
d д/г'.а) It Mjlc
ia)
(Xi
. dU a^dxh
(** - ak)
dl)_
dx4
(dxf. (72.06)
Вычислим величину Подставляя в (72.01) выражение (71.37;
для скорости и пользуясь обозначениями (71.22) для трехмерного тензора
моментов инерции, мы получим
Л4$:
"Ж-
{(И Аа)
¦">ц fik-
(72.07)
В более подробной записи эти соотношения будут иметь вид:
^23 ~ ((-22 Н~ 4з) Ш23 112ш31 11ВШ12> 1
Мм = - 712"23 + (/" + /") <";" - /дз">12, [ (72.08)
^12 г~ АзШ23 ^23ш31 (^11 "1" 122) Ш12- J
Верхний значок (а) здесь для краткости опущен. Это - известные из
механики твердого тела формулы, связывающие момент количества движения с
угловой скоростью.
Вычислим теперь правую часть уравнения (72.06), которая, очевидно,
представляет момент сил, действующих на тело. Сообразно разделению
(71.10) потенциала на внутренний и внешний, рассмотрим сперва момент
внутренних сил. При помощи соотношения (71.18) легко проверить, что
момент внутренних сил равен нулю. Действительно, рассуждая, как при
выводе (71.19), мы приходим к равенству
J?{
"п
(Xi
л дцп ] j •>
(*< - адЧ*} - (Хк - ak)q?]) (dxf = 0. (72.09)
' 4г.-; .! dXj
loo)
330
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Остается вычислить момент внешних сил. Пользуясь разложением
(71.20), в котором, однако, мы удержим только постоянный и линейный
члены, мы получим
dUf , _ _ n dU{a)
lc
(dxf
w ( dW<a) \ (e, (
(a)
P
(a)
<пж>
Подставляя сюда выражение (71.27) для Ula}, мы можем ограничиться в нем
первой суммой. Это дает
Г Г/ лди[а' г зч
I -д1^ ~(х* - а*} чтг\(dx) =
)
л/ дд j /'Я1' ^______1_______[{а)___________^__________1_1 /79 1 1 \
| Ь [ у йаЛййу|а-b! ^ да^да^- |а- Ь|(' ^ ^
Поскольку, согласно (72.09), момент внешних сил равен полному моменту
сил, мы можем заменить здесь и^а) на U. Выражение
/72.11) даст тогда правую часть уравнения (72.06), и мы можем написать
закон изменения момента количества движения тела (а)
в виде *)
d ___ \Л Д/f I //Р д-1_____1 г(а) ^ ^ 1 ^79 1 9\
dt tlc 2л ' 6 I у дак daj | а - b | dai даj | а - b | 1 ' ^
ь
Вводя явные выражения (71.31) для вторых производных, мы можем также
написать
и V9 3'{Mb (а, - bЛ !п, .п,
W М* = 2 ~ la-ЬГ- ~ 1 $ - - *<>О • (72-13)
