Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
тяготения (68.18) эти величины входят вместе с тензором Г" в комбинации
/r' = g-7," - (69.12)
Составим сумму производных Полагая для краткости
дд1'1
А' = ж- <69ЛЗ>
(69Л4)
мы будем иметь
dN, dNM _ 2_ /dU'* , 4_ dUA /. * J_ d4J* , 4_ <ЭЧ/ dt dxk с* \ дх(
"т- с2 dt / \ с2 д№ "т~ с2 dt
(69Л5)
Поскольку в первом приближении имеет место равенство
f+H=° <69л">
см. формулу (55.42)], величина Ч' будет порядка не менее 1/с2, н в
формуле (69.15) члены, содержащие производные от 'Г, могут быть
отброшены. Отбрасывая эти члены и используя уравнения
(69.10) и (69.11), мы получим из (69.15)
с* / dNi0 ,__________________
Щ + дхк ) ~
Щ+з т) <¦* г°°+ тш>(69 л 7)
<)(/
d.
Но правая часть этого равенства совпадает с дополнительными членами в
правой части (69.09), которые, тем самым, представлены в виде суммы
производных. Таким образом, если 7>v есть тензор массы, то мы имеем
gVrT* = !; [gT*- ? №") +?JgT<' - (69.18)
С другой стороны, дифференцируя уравнения тяготения, написанные в форме
(68.18), мы получим
316
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Сравнивая последние две формулы, можем написать:
<69-20>
Это приближенное соотношение играет важную роль при выводе уравнений
движения.
Аналогичное соотношение можно вывести и для нулевой компоненты
расходимости тензора массы. Дифференцируя приближенные уравнения
Эйнштейна (68.18), получаем
Для вычисления второго члена левой части (69.21) дифференцируем выражения
(68.14) и (68.15) для №° и Используя равенство (69.16),
мы получим
= (69-22)
Здесь мы можем выразить, по формулам (68.25) и (69.11), величины Ш и
через Г00 и T0i. Тогда будет
24ipy dU j,00 32nf dU j,oi ,gg 2g\
dx^ c4 dt c4 dx{ '
Подставляя это в (69.21) и пользуясь выражением (69.08) для определителя
g через U, получим, по умножении на 2с:
(Л-з?)з*: = ^(п|:+?жг'0) <69-241
ИЛИ
= <69-25>
('
так как, согласно (65.23), нулевая компонента расходимости тензора массы
приближенно равна выражению в скобках в правой части (69.24), Формула
(69.25) построена вполне аналогично формуле (69.20) для пространственной
компоненты расходимости тензора массы.
Обе эти формулы могут быть написаны в виде
Как было указано в начале этого параграфа, эти формулы являются
приближенными. Они замечательны тем, что стоящий в левой части
дифференциальный оператор имеет постоянные коэффициенты, вследствие чего
они являются весьма удобными для исследования.
§ 70] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ ГАРМОНИЧНОСТИ
317
§ 70. Уравнения движения и условия гармоничности
Общая постановка задачи о движении системы масс была уже дана в § 64.
Теперь нам надлежит рассмотреть вопрос о форме уравнений движения.
Мы знаем, что если рассматривать каждое из движущихся тел как сплошную
среду, то внутри каждого тела должны выполняться уравнения
4^ = 0. (70.01)
С другой стороны, можно рассматривать движение каждого тела как целого,
характеризуя его конечным числом параметров (координатами центра тяжести,
значениями массы и моментов инерции и т. п.).
Тогда возникает задача найти уравнения движения для тел, как целых, т. е.
дифференциальные уравнения для параметров, характеризующих каждое тело.
Мы перечислили некоторые из параметров, характеризующих тело. Чем
обусловлен выбор этих параметров? Прежде всего - требованием, чтобы
выбранные параметры были достаточны для нахождения сил, действующих на
другие тела и определяющих их движение. В нашей задаче речь идет о силах
тяготения. Поэтому параметры, характеризующие тело как целое, должны быть
выбраны так, чтобы они позволяли с достаточной точностью определять поле
тяготения в той области, где находятся другие тела. А так как тела
находятся на больших расстояниях друг от друга, то параметры, относящиеся
к данному телу, должны хорошо определять поле тяготения на больших
расстояниях от него. Такими свойствами и обладают параметры,
перечисленные выше.
Сказанное относится как к механике Ньютона, так и к механике Эйнштейна.
Так как в теории Эйнштейна тяготение связано с метрикой, и именно метрика
непосредственно влияет на движение тел, то основную роль в задаче
нахождения уравнений движения системы
тел должно играть рассмотрение метрики на больших
расстояниях
от тел. Как выбор параметров, так и вид уравнений движения должны быть
подчинены требованию, чтобы на больших расстояниях от каждого тела
правильно получалась метрика.
В конце § 69 были выведены приближенные соотношения
= <70-02>
Эти соотношения вытекают из уравнений Эйнштейна, написанных в
приближенной форме (68.18). В строгом решении как правая часть
(70.02), так и выражение под знаком оператора Даламбера в левой части
равняются нулю в силу уравнений (70.01) и условий гармоничности
|^ = 0. (70.03)
318
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Если же рассматривать приближенное решение, то соотношения (70.02)
устанавливают связь между той степенью точности, с какой выполняются
уравнения (70.01), и той степенью точности, с какой выполняются условия
