Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
определителя g. Мы имеем приближенно
R=Miv-y)- <68-32J
В соединении с вытекающим из уравнений Эйнштейна соотношением
R = ^T, (68.33)
где Т-инвариант тензора масс, предыдущее уравнение дает
= <68-34'
Сравним эту формулу с уравнением (68.30) для U*. Для этого по-
ложим
/=1 + -1г-> (68-35'>
где, как это следует из сравнения с (67.09),
Un = u + ±(s-sku~^u^. (68.36)
Так же как и U*, величина U** в первом приближении равна ньюто-
нову потенциалу U. Уравнение (68.34) принимает вид:
-^(. + ")7. 0И.37,
С той же степенью точности можно написать
дЧ. dt
i т = - 4*Т ! (С* + и) 7(tm) _ 7"}. (68.38)
312 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ и ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
Последнее уравнение может быть также получено непосредственно из формул
(68.21)-(68.23) и из определения (68.36) величины U**. Если инвариант Т
имеет вид (66.19), то будет
(1 +^г) Г=Р {1 -Ь^-Ьп)} - <68-39)
На основаниии этой формулы и уравнения (68.37) можно показать, что в
данном приближении величина U** будет аддитивной функцией от масс.
Полусумма
Z7=-g-(f/*+t/**) (68.40)
величин (68.20) и (68.36) удовлетворяет, как легко видеть, уравнению
= + <68'41)
содержащему справа только одну компоненту тензора массы. Это уравнение
связано с уравнением Эйнштейна, содержащим ту же компоненту, а сама
величина U связана с величиной д°°. Действительно, перемножая выражения
(¦+?)'
и учитывая, что величины U* и U** отличаются друг от друга и от U на
члены порядка 1/с2, мы получим
V^=igOo = floo = I + ^Z7 + ^Z7'. (68.43)
где U есть решение уравнения (68.41).
Формулу (68.43) для д°° нетрудно проверить. Действительно, если д°° имеет
это значение, то
±Даоо . Щ(ш
Чс 9 2с3 dt* - сЛ ca"g/rj +
+ ,4((gradW-i(f)'). (68.44)
Мы можем заменить здесь в поправочных членах U на U и отбросить (^ppf.
Пользуясь значением (68.14) величины №°, мы получим
§ 69] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕНЗОРОМ МАССЫ И ВЕЛИЧИНАМИ Г4
313
Сравнивая это соотношение с уравнением Эйнштейна (68.18), написанным для
р, = у = 0, мы приходим к уравнению (68.41). Заметим, что с той же
степенью точности, с какой справедлива формула (68.43), мы можем написать
, ('+?)'
л°° = - ----°-L. (68.46)
(-5)
Для случая статического поля от сосредоточенной массы М мы получили в §
57 строгое решение. Сравнение с этим строгим решением показывает, что
если, для этого случая, в формулах (68.41) и (68.46) положить
- = (68.47)
то они совпадут с точными [см. формулы (58.10) и (58.13)]. Значения
(68.47) согласуются с уравнением Даламбера, которому эти величины должны
удовлетворять вне масс по рассмотренной в этом параграфе приближенной
теории.
§ 69. Связь между расходимостью тензора массы и величинами Г"
В начале предыдущего параграфа мы уже упоминали, что если в тензоре
Эйнштейна опустить с самого начала члены, содержащие Г\ то равенство нулю
расходимости тензора массы
^7*" = 0 (69.01)
будет выполняться лишь поскольку выполняется условие гармоничности
(69.02)
Для исследования уравнений движения необходимо изучить связь между
условиями (69.01) и (69.02) или, точнее, между левыми частями
соответствующих равенств.
Если не делать никаких пренебрежений, то левая часть (69.01) может быть
представлена в виде некоторого довольно сложного дифференциального
оператора от левых частей (69.02). Нас интересуют, однако, не эти точные
формулы, а приближенные, соответствующие той точности, с которой в
предыдущем параграфе выписаны уравнения Эйнштейна. К выводу этих
приближенных формул мы и переходим.
Выражение для расходимости симметричного тензора было подробно еыписано в
§ 65. Согласно формуле (65.24), пространственные
314 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. VI
компоненты расходимости равны
i 'pio 2trpih
= ^+^7+11оо^°+2Г^Гой+Л7'0,+Ги7'Ы+у,Г"- (69.03)
Входящие сюда скобки Кристоффеля и величины уа выписаны в § 67 [формулы
(67.25) и (67.21)]. Преобразуем несколько эти формулы. Вводя, согласно
(67.11), обозначение U*, мы можем вместо первой формулы (67.25) написагь
г* /. 4U\(dU* , 4 dU{\ /спаял
1о1= "I1 ж)- (69-04>
Остальные две формулы (67.25) могут быть написаны в виде
Т4 i ^ г ^ (dUi dUk\ /сг\ лс\
Ida-- 2Л-&{дТк~ дТ{)' (69.05)
г" = у (УАь + Ук8") -jr ЩSfef. (69.06)
Вводя эти выражения в (69.03), получаем:
V* = T + S +2ЛТ"+2ЛГ<*-(1 -±?)(g+4 *4) Г"_
(69 07)
Умножим это выражение на определитель g, приближенно равный
* = -**(i+ir), (69-08)
и воспользуемся тем, что коэффициенты при Г00 и при Ткк почти
пропорциональны друг другу. Мы получим
p-V Тш-д(еТй>) I d(ZTik) | м ~ dt "t" dxk "Г"
+(w, + г ж) тт + т">+4 (S - Щ) Г°*- (69 09)
Таково выражение для умноженной на g расходимости любого симметричного
тензора. Но если 7'11'1 есть тензор массы, то имеют место уравнения
= -4кТ(с27'°°+7'4, (69.10)
MJk = - 4k-('C27'№, (69.11)
которые были установлены выше [формулы (68.19) и (68.30)]. При
помощи них можно подвергнуть правую часть (69.09) дальней-
шему преобразованию. Для этого рассмотрим введенные формулами
§ 69] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕНЗОРОМ МАССЫ И ВЕЛИЧИНАМИ Г' 315
(68.14)-(68.16) величины (Vpv и обратим внимание на то, что в уравнения
