Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 113

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 167 >> Следующая

Затруднения, связанные с определением, в теории относительности, понятия
твердого тела, в данном приближении еще не возникают.
324
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
Дифференцируя интеграл (71.05) по времени и пользуясь уравнением
неразрывности, будем иметь
d\ , , Г 0р , , f <?("/¦)
Т \ Г'Х dt J ' 1
откуда
(dxf = j д~ xt {dxf - - J -Щ- x{ (dxf = J <rvt (dx?, (71.07) J гщ (dxf =
Маа,[. (71.08)
(a)
Из соотношения (71.08) следует, что, независимо от распределения
скоростей внутри тела, левая часть уравнения (70.27) равна произведению
массы тела на ускорение центра тяжести
Jt\ rjVi(dx? Mcfi{. (71.09)
\а)
Вычислим интеграл в правой части (70.27). Ньютонов потенциал U можно
разбить на два слагаемых
и (г) = и0 (г)+ ?/(") (г), (71.10)
г те и" происходит от массы Ма, а (/И--от остальных масс. Сообразно
такому разложению, мы будем иметь:
J Щ w = J *° U (dxyl + J р ^ ^ ¦ v1 •11>
(О) (О) (О)
Внутри массы Ма потенциал иа удовлетворяет уравнению
= - 4пТР". (71.12)
где оа есть плотность, принадлежащая данной массе. Он может быть
представлен о виде интеграла
' о' (dxff>
(71.13)
Потенциал же Uiu\ происходящий от других масс, будет, внутри данной
массы, медленно меняющейся функцией от координат, которую можно разложить
в ряд Тейлора по степеням (Xj--а?-). Это позволяет приближенно вычислить
второй интеграл, входящий в (71.11).
Подставляя выражение (71.13) для иа в первый из этих интегралов, будем
иметь
J?^7(rfjc)8 = -T J j ^rFT,{xt - ^(dx?(dx'?. (71.14)
(ш (a1 (a)
Но двойной интеграл справа равен нулю, так как подиптегральпая функция в
нем антисимметрична в координатах обеих точек. Таким
§ 71]
ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
325
образом,
(71.151
(а)
Это соотношение может быть истолковано, как равенство нулю
равнодействующее! внутренних гравитационных сил.
Приведем еще одно доказательство этого соотношения. Положим
в силу уравнения(71.12). Если мы в интеграле (71.15)будем разуметь под р
плотность ря, принадлежащую данной массе, мы можем распространить
интеграл на весь бесконечный объем, после чего получим
так как на бесконечности величины q'f? обращаются в нуль.
Обратимся к вычислению второго интеграла в (71.11). Разлагая потенциал
U~a'> внешних масс в ряд Тейлора, будем иметь
Умножая это выражение па р, интегрируя но объему массы (а) и используя
(71.06), будем иметь
которые мы будем называть моментами инерции массы (а) (в механике это
название носят несколько другие величины). Нам надлежит
(71.16)
Тогда
дхк дх(
(71.17.)
или
т<* i ^ ft ^/ л j
(71.18)
(71.21)
<а)
где через [$ мы обозначили величины
1ы = J Р • (xk - ак) (xl - at) (dxf
(71.22)
326
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
.вычислить теперь значение потенциала U(a\ Alu имеем
Uw(v) = 2' т f |Т(tm)-, , (dx'У, (71.23)
Ъ (Ъ)
где штрих у знака суммы означает, что масса (а) исключена из
суммирования. Каждый член суммы представляет потенциал соответствующей
массы. Рассмотрим один из них, например
"6 00 = Т f • (71'24)
ф)
Подставляя сюда разложение
1 1 1
I г - г' | | г - b | 'Хк к дхк [г - Ьр
+ У (х'к - Ьк) (х\ - bj) F| + • • • . (71 • 25)
интегрируя почленно и используя формулу (71.06), а также обозначение
(71.22), мы получим:
/ \ |'уИ7, ¦ 1 г Ф) 1 1 /"7 1 m ¦ ¦
КЬ (г) = ГГ-Т^| + 2 Т kl ~dl^dxl I г - b I + • •
• (71 •2bj
Следовательно, будет
П<а\ ч V' ЧМЪ | 1 V' rib) д'г 1 I 7-71 .171
и (Г)- >, . , I' И-FT 7, I'WA 3-I ГТ-Г--" (71.2/)
v : г - b | 1 2 1 ' дхк дхг | г - b | * 4
ь ь
Оценим порядок величины первой и второй суммы в этом выражении. Пусть L
есть длина, характеризующая линейные размеры тел, a R- величина порядка
расстояния между ними (см. § 64). Пусть q характеризует порядок величины
скорости тел. Мы будем считать, что по порядку величины
Г-if- (71.28)
Порядок величины моментов инерции будет, очевидно,
4 i~ML\ (71.29)
Пи-жому первая сумма в (71.27) будет порядка q-, а вторая--норя u<a if-
ky} . Обозначенные многоточием невыписанные члены
/х-1
будут более высокого порядка относительно мало!: величины L/R и мы их
отбросим. С другой стороны, нетрудно видеть, что в формуле (71.27) второй
член будет порядка Lr/R1 по отношению к первому. Поэтому при вычислении
второго члена мы можем
§ 71]
ВПУТРГННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
327
/2
отбросить в потенциале величины порядка тогда как при
вычислении первого члена мы должны их сохранить. Производя выкладки,
получим:
fP*p(d*)9 а +
dxt 4 ' dat l| а - b '
id) ь
+ \(мЛ+м"1'$) 4&м,А-ь||- (71'30)
Ввиду того, что величина
di J_^ _ ту |_ - bjc) (аг- Ьг) _. ..
daedal |а - о | ;а - b j3 1 ] а - b|5 ^ '
симметрична относительно а и Ь, выражение в фигурных скобках в (71.30)
также будет симметрично. Вводя двойную сумму
*-¦ir S(^S+iw"+l7L32)
a, b (а фЬ)
мы можем поэтому написать
Г dU .. v, Г dU{a) . , дФ QO,
! р {(1х) = J р -&г{dx) = ~ ш. • (71
(a) (a)
Уравнение (70.27), которое мы выпишем еще раз,
f ovt (dxf - f о ~ (dxf (71.34)
примет теперь вид
d
U J - j e
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed