Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Найдем условие устойчивости, в которое входят «замороженные» коэффициенты. Используя «принцип замороженных коэффициентов» и.явную схему, например, для уравнения теплопроводности
c(t, х, и) Ut = [х(г, х, и) их\х -I- f{t, X, и) получаем как объект исследования разностную схему
с = Tl «-1 - 2< + <+i)
и условие устойчивости Куранта ит < 0.5ch2. Возвращаясь к реальной схеме, нужно решить вопрос: какие же значения сии следует брать
124
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
ІЧ.І
при выборе т? Ответ прост: шаг т должен быть таким, чтобы условие Куранта выполнялось при всех значениях и и с, встречающихся в данном расчете.
Счет с автоматическим выбором шага. Как выбрать т, когда коэффициенты сих зависят от и, а эта функция с самого начала нам неизвестна? И здесь рецепт прост и очень полезен. Рассмотрим ситуацию стандартного шага: {иу“=0 известны, надо вычислить и"+1. Расчет начинается с того, что находится
x(t , X ,Un)
b = max —-—-—— , т c(tn> V О
затем вычисляется шаг т„+(/2, определяющий переход от tn к
*п+1 = *п + xn + ll V
xn + l)2= h
далее все делается стандартно.
В схемах с «нелинейностью с верхнего слоя» поступают так же, так как и"+| мало отличается от ы". В некоторых задачах может оказаться, что одно узкое место определяет слишком малый шаг т, хотя в остальной части условие Куранта допускает гораздо больший. Это неприятно, и понятен интерес к безусловно-устойчивым схемам, в которых шаг т может выбираться без учета требования вычислительной устойчивости. К сожалению, такими являются лишь неявные схемы.
Практика использования спектрального признака. Практика показала, что в большинстве случаев ситуация такая:
а) если схема спектрально-неустойчива, она для расчетов заведомо непригодна; нелинейность, переменность коэффициентов и прочие факторы, которые не учитывались при спектральном анализе, только усугубляют неустойчивость;
б) если схема устойчива по спектральному признаку, то это в реальной схеме, конечно, не гарантия, но очень серьезный довод в пользу ее устойчивости; наиболее серьезные коррективы вносят краевые условия.
В целом исследование спектрального признака позволяет отбрасывать подавляющее большинство неустойчивых схем, остальные исследуются, в частности, и экспериментально. Наиболее типичной причиной фактической неустойчивости схемы, устойчивой по спектральному признаку, является неустойчивость разностной реализации краевых условий. Внешне она проявляется а том, что численное решение оказывается испорченным большими пилообразными возмущениями (в первую очередь около соответствующей границы об-
S 12]
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
125
ласти). Особенно хорошо это видно на начальной стадии расчета, при больших п это возмущение распространяется на всю область.
Построены примеры разностных схем, устойчивых при исследовании по «принципу замороженных коэффициентов», но неустойчивых фактически. Это противоречие связано не с краевыми условиями, а с переменностью коэффициентов уравнений по t. Однако существенным для таких примеров является сильное изменение коэффициентов за один шаг по времени. Такая ситуация не является характерной для схем, используемых для решения дифференциальных уравнений: в них шаг t должен быть настолько малым, чтобы за один шаг по п ситуация (т.е. коэффициенты уравнения, решение и т.п.) менялась незначительно. Поэтому такие примеры не опровергают указанной выше практической точки зрения на спектральную устойчивость.
Устойчивость и структура пространства сеточных функций.
Рассмотрим сетку по пространству {хт}„=0 (хт = тК) и пространство сеточных функций В этом пространстве функции
eimv образуют базис, причем вещественные принимают дискретные значения yk — кп/М (к = 0, 1, ..., М—1). Совокупность таких
сеточных функций (назовем их vW = (v^}Jf=0) образует в пространстве всех сеточных функций полный линейно-независнмый базис. Остальные ф можно не рассматривать, так как они не вносят в пространство новых функций.
Среди функций базиса можно (достаточно условно) выделить две качественно разных части:
а) гладкие сеточные функции, соответствующие малым номерам к = 0, 1,2,...;
б) негладкие сеточные функции, соответствующие большим номерам к = M — 1,М — 2,...
Основанием для такого разделения служит следующий фундаментальный факт: действие разностного оператора, например, (um+l—um)/h дает результат, близкий к результату действия аппроксимируемого им дифференциального оператора d/dx, если функция {uj — гладкая сеточная функция (т.е. если в ее разложении по базису {v(ic)} определяющую роль играют первые члены с к = 0, 1, 2, ...). Если же функция {ит} — негладкая (например,
совпадает с одной из базисных функций v(k\ к = M — I, M — 2, ...), результаты действия этих операторов не имеют между собой ничего общего.
Условная граница между гладкими н негладкими функциями базиса зависит, очевидно, от требований к точности. Численное решение какой-то задачи, если оно претендует на точность аппро-
126
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
