Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
т
множитель, для дальнейшего несущественный (v = 0(1)).
Важным является равенство Парсеваля
IIS0II =
Предположим, что задача решается по разностной схеме со спектральной функцией Х(т, h; 9). Поскольку функции Х"(<р) eimif удовлетворяют разностному уравнению, можно сразу же выписать решение:
2jt
Ьпт = ^ Х"((р) с(ф) е"** dy.
о
Проанализируем эту основную формулу.
Пусть схема спектрально-устойчива, т.е. имеет место равномерная по т оценка Щ<р) | ^l + С х. Тогда
Il 6" Il =
Далее,
2л
1/2
I Я."(9) I < (I + Сх)п < (1 + Сх)Т1г % еСТ (при т-*0). И наконец,
2jc
JIс(*р)I2d<p
1/2
^ecrIId0H.
Таким образом, погрешность в начальных данных в процессе решения может увеличиться не более чем в ест раз; эта оценка остается справедливой, когда т-*0, а число шагов JV-* как Т/х. Итак, спектральная устойчивость схемы означает непрерывную зависимость решения разностной задачи по начальным данным с оценкой, равномерной по т -* 0.
122
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
Пусть схема спектрально-неустойчива, т.е. существует q > 1, не зависящее от г, и I X(^p0) I > q при некотором <р0 Є [0, 2л]. В силу непрерывности Х(<р) существует малая окрестность А, в которой I Х.((р)| > q'> 1, ірЄ А. Рассмотрим возмущение 6°, порожденное фурье-образом с(<р) = {0 при <р ^ A; e/mes А при tp Є А}:
2%
к = S C(iP) diP-
о
Очевидно, Il6°|| = ?.
Оценим последствия такого возмущения. Как уже отмечалось, они имеют вид
= j X"(ip) с(»р) е,т* dy. д
Вычислим норму
IIdnIP = j IХ"(<р) 12 Iс(<р)l2d9> W)2n IIS0II2-
Д
При достаточно малом х число шагов N становится сколь угодно большим и множитель (q')Tlx-*<x> при т -» 0.
Итак, при расчете по спектрально-неустойчивой схеме сколь угодно малая погрешность в начальных данных приводит (при достаточно малом т) к сколь угодно большим погрешностям в решении. Мы рассмотрели последствия специально сконструированного возмущения начальных данных. Более или менее очевидно, что почти любое начальное возмущение имеет фурье-образ с(«р) чьОвАи такое возмущение тоже будет катастрофически нарастать: чем меньше шаг т, тем сильнее будут сказываться последствия неустойчивости.
Перейдем к обсуждению спектрального признака устойчивости и практики его применения в реальных ситуациях. Рассмотрим два вопроса.
1. Мы уже знаем, что устойчивость метода приближенного решения — это, грубо говоря, непрерывная зависимость решения от исходной информации, которой являются функции, входящие в начальные данные, краевые условия и в правую часть уравнения. Спектральный признак оценивает только устойчивость по начальным данным. В более или менее общем случае из такой устойчивости следует устойчивость по правой части (дело в том, что начальные данные можно трактовать, как правую часть, имеющую характер 6-функции). Устойчивость по краевым условиям — свойство совсем иного характера, она не связана однозначно с устойчивостью по начальным данным. Краевые условия требуют отдельного, самостоятельного исследования. Теоретические основы такого анализа
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК устойчивости
123
были разработаны И. М. Гельфандом, К. И. Бабенко. Технически это более сложные исследования.
2. Почему при исследовании устойчивости мы ограничились функциями XnClniif для if Є [0, 2л]? Ведь эта функция будет решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами при любом ip, в том числе и комплексном, и спектр будет совсем другим. Мы ограничились вещественными If потому, что при
комплексных if такая функция для п = О, т.е. уже содержит бесконечные (при т-* ± оо) значения. И если такие начальные данные приводят к очень большим решениям Xne'm,f, тут нет ничего удивительного и этот факт не компрометирует схему.
Другое дело, когда при вещественном <р из ограниченных всюду начальных данных получается бесконечно большое решение — это уже дефект разностной схемы. В функции Cintlf параметр <р определен с точностью до 2 л, поэтому ограничимся только интервалом [О, 2л]. Кстати, упоминавшийся выше анализ устойчивости по краевым условиям приводит к изучению, например, полуограниченной части оси дс (т > 0). В этом случае ограниченные начальные данные дают все tp, для которых Re zip « 0. Ho среди таких tp нужно отобрать те, для которых функция Clnilf удовлетворяет рассматриваемым разностным краевым условиям (однородным).
Устойчивость нелинейных разностных схем. Спектральный признак устойчивости используется для анализа самых сложных задач. При этом руководствуются правилом, получившим несколько высокопарное название «принцип замороженных коэффициентов». Имеется в виду следующий рецепт. Все входящие в уравнение коэффициенты, зависящие от t, х и самой искомой функции, полагаются постоянными, и разностная схема становится линейной с постоянными коэффициентами. Правые части игнорируются, краевые условия переносятся в бесконечность (в форме требования ограниченности решения) и получается схема, допускающая исследование спектральным методом.
